Cho ba số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(x + y + z = 3.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Câu hỏi số 502675:

Vận dụng cao

Cho ba số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(x + y + z = 3.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(H = 3xy + y{z^2} + z{x^2} - {x^2}y\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:502675

Phương pháp giải

Sử dụng điều kiện đưa biểu thức về dạng hoán vị, sau đó có thể giả sử một biến nằm giữa hai biến còn lại, kết hợp sử dụng AM – GM

Giải chi tiết

\(H = 3xy + y{z^2} + z{x^2} - {x^2}y = \left( {x + y + z} \right)xy + y{z^2} + z{x^2} - {x^2}y = x{y^2} + y{z^2} + z{x^2} + xyz\)

Không mất tính tổng quát giả sử \(y\) nằm giữa \(x\) và \(z\). Ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {y - z} \right)\left( {y - x} \right) \le 0 \Leftrightarrow {y^2} - xy - zy + xz \le 0\\ \Leftrightarrow {y^2} + xz \le xy + zy \Leftrightarrow x{y^2} + z{x^2} \le xyz + {x^2}y\\ \Leftrightarrow x{y^2} + y{z^2} + z{x^2} \le xyz + {x^2}y + y{z^2} = y\left( {2xz + {x^2} + {z^2}} \right) - xyz\\ \Rightarrow H \le y\left( {2xz + {x^2} + {z^2}} \right)\\ \Rightarrow H \le y{\left( {x + z} \right)^2}\end{array}\)

Có \(2y{\left( {x + z} \right)^2} = 2y\left( {x + z} \right)\left( {x + z} \right) \le \frac{{{{\left( {2y + 2x + 2z} \right)}^3}}}{{27}} = 8 \Rightarrow y{\left( {x + z} \right)^2} \le 4\)

\( \Rightarrow H \le 4\)

Vậy GTLN của \(H\) là \(4\), dấu bằng xảy ra\( \Leftrightarrow x = y = z = 1\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link