Cho tam giác nhọn \(ABC\,(AB < AC),\)có ba đường cao \(AD,BE,CF\) đồng quy tại \(H\). Vẽ đường
Cho tam giác nhọn \(ABC\,(AB < AC),\)có ba đường cao \(AD,BE,CF\) đồng quy tại \(H\). Vẽ đường tròn \(\left( O \right)\)đường kính \(BC.\) Tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(E\) cắt \(AD\) tại \(K\).
a) Chứng minh \(KA = KE\).
b) Vẽ tiếp tuyến \(AM\) của đường tròn \(\left( O \right),M\) là tiếp điểm. Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(HDM\). Chứng minh \(O,I,M\) thẳng hàng.
Quảng cáo
- Chứng minh được \(AEHF\)nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {AHE} = \widehat {AFE}\)
\(\widehat {ACB} = \widehat {HEK}\)(cùng chắn
\(\widehat {KHE} = \widehat {HEK} \Rightarrow \Delta KHE\) cân tại \(K \Rightarrow KH = KH\left( 1 \right)\)
Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {KHE} + \widehat {KAE} = {90^0}\\\widehat {HEK} + \widehat {KEA} = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {KAE} = \widehat {KEA}\)
Suy ra tam giác \(AKE\)cân tại \(K\) nên \(KA = KE\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(KA = KE\).
- Dễ dàng chứng minh được \(\Delta AHE \sim \Delta ACD \Rightarrow \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AD}} \Rightarrow AH.AD = AC.AE\left( 3 \right)\)
\( \Rightarrow \Delta AEM \sim \Delta AMC(g - g) \Rightarrow \frac{{AE}}{{AM}} = \frac{{AM}}{{AC}} \Rightarrow AE.AC = A{M^2}\left( 4 \right)\)
Từ (3) và (4) \( \Rightarrow AH.AD = A{M^2} \Leftrightarrow \frac{{AH}}{{AM}} = \frac{{AM}}{{AD}}\)
Xét \(\Delta AHM\)và \(\Delta AMD\)có:\(\widehat {HAM}\,\,\,{\rm{chung}}{\rm{,}}\,\,\frac{{AH}}{{AM}} = \frac{{AM}}{{AD}}\)
\( \Rightarrow \Delta AHM \sim \Delta AMD(c.g.c) \Rightarrow \widehat {HDM} = \widehat {AMH} \Rightarrow AM\) là tiếp tuyến của \(\left( I \right)\)
Suy ra \(IM \bot AM\), mà \(OM \bot AM\)
Nên \(O,I,M\)thẳng hàng.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
