Hoàn thành Giải Câu sau:

Trả lời cho các câu 1, 2 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \(\left( {a;b} \right)\) để biểu thức\(\frac{{{a^2} - 3}}{{ab + 3}}\) nhận giá trị là số nguyên.

Xem lời giải

Câu hỏi:502753

Phương pháp giải

Biến đổi \(b\left( {{a^2} - 3} \right) = a\left( {ab + 3} \right) - 3\left( {a + b} \right)\). Đưa về bài toán đơn giản hơn: \(3\left( {a + b} \right) = k\left( {ab + 3} \right),k \in \mathbb{N}*\), ta xét các trường hợp của \(k\).

Giải chi tiết

Yêu cầu Giải Câu toán tương đương \({a^2} - 3\) chia hết cho \(ab + 3\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow b\left( {{a^2} - 3} \right) \vdots \left( {ab + 3} \right) \Rightarrow \left[ {a\left( {ab + 3} \right) - 3\left( {a + b} \right)} \right] \vdots \left( {ab + 3} \right)\\ \Rightarrow 3\left( {a + b} \right) = k\left( {ab + 3} \right),k \in \mathbb{N}*\end{array}\)

Nếu \(k = 1 \Rightarrow 3\left( {a + b} \right) = ab + 3 \Rightarrow \left( {a - 3} \right)\left( {b - 3} \right) = 6\)

\(Do\,\,a,b \in \mathbb{N}* \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 3 \ge - 2\\b - 3 \ge - 2\end{array} \right.\)

\(TH1:\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a - 3 = 6\\b - 3 = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a - 3 = 1\\b - 3 = 6\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 9\\b = 4\end{array} \right.(tm)\\\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 9\end{array} \right.(ktm)\end{array} \right.\);

\(TH2:\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a - 3 = 3\\b - 3 = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a - 3 = 2\\b - 3 = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 5\end{array} \right.(tm)\\\left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 6\end{array} \right.(ktm)\end{array} \right.\)

Nếu \(k = 2 \Rightarrow 3\left( {a + b} \right) = 2\left( {ab + 3} \right) \Rightarrow \left( {2a - 3} \right)\left( {2b - 3} \right) = - 3\)

\(Do\,a,b \in \mathbb{N}* \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2a - 3 \ge - 1\\2b - 3 \ge - 1\end{array} \right.\)

Ta có: \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2a - 3 = 3\\2b - 3 = - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2a - 3 = - 1\\2b - 3 = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\end{array} \right.\end{array} \right.\). Thử lại thì \(\left( {a;b} \right) = \left( {3;1} \right)\) thỏa mãn.

Nếu \(k \ge 3 \Rightarrow 3\left( {a + b} \right) = k\left( {ab + 3} \right) \ge 3\left( {ab + 3} \right) \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) + 2 < 0\)(vô lý vì \(a,b \in \mathbb{N}*)\)

Vậy các cặp số \(\left( {a,b} \right)\) thỏa mãn là \(\left( {3;1} \right);\left( {6;5} \right);\left( {9;4} \right)\)

Câu hỏi số 2:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng cho \(2020\) điểm phân biệt sao cho từ ba điểm bất kỳ luôn chọn ra được hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn \(1\,cm\). Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính bằng \(1cm\) chứa không ít hơn \(1010\)điểm trong 2020 điểm đã cho.

Xem lời giải

Câu hỏi:502754

Phương pháp giải

Sử dụng nguyên lý Dirichlet

Giải chi tiết

Gọi \(A\) là một điểm bất kỳ trong số \(2020\)điểm đã cho

Xét hình tròn \(\left( {A;1cm} \right)\)

Trường hợp 1: Nếu hình tròn \(\left( {A;1cm} \right)\) chứa tất cả \(2019\) điểm còn lại ta có điều phải chứng minh.

Trường hợp 2: Nếu trong \(2019\) điểm còn lại tồn tại điểm \(B\) nằm ngoài hình tròn \(\left( {A;1cm} \right)\) thì \(AB > 1cm,\)vẽ đường tròn \(\left( {B;1cm} \right).\)Ta chứng minh \(2018\)điểm còn lại hoặc thuộc hình tròn \(\left( {A;1cm} \right)\)hoặc thuộc hình tròn \(\left( {B;1cm} \right)\)

Thật vậy, giả sử tồn tại điểm \(C\) trong \(2018\) điểm còn lại nằm ngoài cả hai hình tròn \(\left( {A;1cm} \right);\left( {B;1cm} \right)\) như hình vẽ. Khi đó \(AC > 1cm,BC > 1cm.\) Như vậy với ba điểm \(A,B,C\) thì khoảng cách của hai điểm bất kỳ luôn lớn hơn \(1\) (mâu thuẫn với đề bài)

Vậy \(2018\) điểm còn lại hoặc thuộc hình tròn \(\left( {A;1cm} \right)\)hoặc thuộc hình tròn \(\left( {B;1cm} \right)\)

Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại một hình tròn chứa ít nhất \(1009\)điểm đã cho và chứa thêm điểm \(A\) hoặc điểm \(B\).

Vậy tồn tại một hình tròn có bán kính bằng \(1cm,\)chứa không ít hơn \(1010\)điểm đã cho.

Quảng cáo

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link