Hoàn thành Giải Câu sau:

Trả lời cho các câu 502752, 502753 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $\left( {a;b} \right)$ để biểu thức $\frac{{{a^2} - 3}}{{ab + 3}}$ nhận giá trị là số nguyên.

Xem lời giải

Câu hỏi:502753

Phương pháp giải

Biến đổi $b\left( {{a^2} - 3} \right) = a\left( {ab + 3} \right) - 3\left( {a + b} \right)$ . Đưa về bài toán đơn giản hơn: $3\left( {a + b} \right) = k\left( {ab + 3} \right),k \in \mathbb{N}*$ , ta xét các trường hợp của $k$ .

Giải chi tiết

Yêu cầu Giải Câu toán tương đương ${a^2} - 3$ chia hết cho $ab + 3$

$\begin{array}{l} \Rightarrow b\left( {{a^2} - 3} \right) \vdots \left( {ab + 3} \right) \Rightarrow \left[ {a\left( {ab + 3} \right) - 3\left( {a + b} \right)} \right] \vdots \left( {ab + 3} \right)\\ \Rightarrow 3\left( {a + b} \right) = k\left( {ab + 3} \right),k \in \mathbb{N}*\end{array}$

Nếu $k = 1 \Rightarrow 3\left( {a + b} \right) = ab + 3 \Rightarrow \left( {a - 3} \right)\left( {b - 3} \right) = 6$

$Do\,\,a,b \in \mathbb{N}* \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 3 \ge - 2\\b - 3 \ge - 2\end{array} \right.$

$TH1:\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a - 3 = 6\\b - 3 = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a - 3 = 1\\b - 3 = 6\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 9\\b = 4\end{array} \right.(tm)\\\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 9\end{array} \right.(ktm)\end{array} \right.$ ;

$TH2:\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a - 3 = 3\\b - 3 = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a - 3 = 2\\b - 3 = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 5\end{array} \right.(tm)\\\left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 6\end{array} \right.(ktm)\end{array} \right.$

Nếu $k = 2 \Rightarrow 3\left( {a + b} \right) = 2\left( {ab + 3} \right) \Rightarrow \left( {2a - 3} \right)\left( {2b - 3} \right) = - 3$

$Do\,a,b \in \mathbb{N}* \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2a - 3 \ge - 1\\2b - 3 \ge - 1\end{array} \right.$

Ta có: $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2a - 3 = 3\\2b - 3 = - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2a - 3 = - 1\\2b - 3 = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\end{array} \right.\end{array} \right.$ . Thử lại thì $\left( {a;b} \right) = \left( {3;1} \right)$ thỏa mãn.

Nếu $k \ge 3 \Rightarrow 3\left( {a + b} \right) = k\left( {ab + 3} \right) \ge 3\left( {ab + 3} \right) \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) + 2 < 0$ (vô lý vì $a,b \in \mathbb{N}*)$

Vậy các cặp số $\left( {a,b} \right)$ thỏa mãn là $\left( {3;1} \right);\left( {6;5} \right);\left( {9;4} \right)$

Câu hỏi số 2:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng cho $2020$ điểm phân biệt sao cho từ ba điểm bất kỳ luôn chọn ra được hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn $1\,cm$ . Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính bằng $1cm$ chứa không ít hơn $1010$ điểm trong 2020 điểm đã cho.

Xem lời giải

Câu hỏi:502754

Phương pháp giải

Sử dụng nguyên lý Dirichlet

Giải chi tiết

Gọi $A$ là một điểm bất kỳ trong số $2020$ điểm đã cho

Xét hình tròn $\left( {A;1cm} \right)$

Trường hợp 1: Nếu hình tròn $\left( {A;1cm} \right)$ chứa tất cả $2019$ điểm còn lại ta có điều phải chứng minh.

Trường hợp 2: Nếu trong $2019$ điểm còn lại tồn tại điểm $B$ nằm ngoài hình tròn $\left( {A;1cm} \right)$ thì $AB > 1cm,$ vẽ đường tròn $\left( {B;1cm} \right).$ Ta chứng minh $2018$ điểm còn lại hoặc thuộc hình tròn $\left( {A;1cm} \right)$ hoặc thuộc hình tròn $\left( {B;1cm} \right)$

Thật vậy, giả sử tồn tại điểm $C$ trong $2018$ điểm còn lại nằm ngoài cả hai hình tròn $\left( {A;1cm} \right);\left( {B;1cm} \right)$ như hình vẽ. Khi đó $AC > 1cm,BC > 1cm.$ Như vậy với ba điểm $A,B,C$ thì khoảng cách của hai điểm bất kỳ luôn lớn hơn $1$ (mâu thuẫn với đề bài)

Vậy $2018$ điểm còn lại hoặc thuộc hình tròn $\left( {A;1cm} \right)$ hoặc thuộc hình tròn $\left( {B;1cm} \right)$

Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại một hình tròn chứa ít nhất $1009$ điểm đã cho và chứa thêm điểm $A$ hoặc điểm $B$ .

Vậy tồn tại một hình tròn có bán kính bằng $1cm,$ chứa không ít hơn $1010$ điểm đã cho.

Quảng cáo

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.