Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Hoàn thành Giải Câu sau:
Hoàn thành Giải Câu sau:
Trả lời cho các câu 502752, 502753 dưới đây:
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \(\left( {a;b} \right)\) để biểu thức\(\frac{{{a^2} - 3}}{{ab + 3}}\) nhận giá trị là số nguyên.
Biến đổi \(b\left( {{a^2} - 3} \right) = a\left( {ab + 3} \right) - 3\left( {a + b} \right)\). Đưa về bài toán đơn giản hơn: \(3\left( {a + b} \right) = k\left( {ab + 3} \right),k \in \mathbb{N}*\), ta xét các trường hợp của \(k\).
Yêu cầu Giải Câu toán tương đương \({a^2} - 3\) chia hết cho \(ab + 3\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow b\left( {{a^2} - 3} \right) \vdots \left( {ab + 3} \right) \Rightarrow \left[ {a\left( {ab + 3} \right) - 3\left( {a + b} \right)} \right] \vdots \left( {ab + 3} \right)\\ \Rightarrow 3\left( {a + b} \right) = k\left( {ab + 3} \right),k \in \mathbb{N}*\end{array}\)
Nếu \(k = 1 \Rightarrow 3\left( {a + b} \right) = ab + 3 \Rightarrow \left( {a - 3} \right)\left( {b - 3} \right) = 6\)
\(Do\,\,a,b \in \mathbb{N}* \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 3 \ge - 2\\b - 3 \ge - 2\end{array} \right.\)
\(TH1:\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a - 3 = 6\\b - 3 = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a - 3 = 1\\b - 3 = 6\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 9\\b = 4\end{array} \right.(tm)\\\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 9\end{array} \right.(ktm)\end{array} \right.\);
\(TH2:\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a - 3 = 3\\b - 3 = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a - 3 = 2\\b - 3 = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 5\end{array} \right.(tm)\\\left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 6\end{array} \right.(ktm)\end{array} \right.\)
Nếu \(k = 2 \Rightarrow 3\left( {a + b} \right) = 2\left( {ab + 3} \right) \Rightarrow \left( {2a - 3} \right)\left( {2b - 3} \right) = - 3\)
\(Do\,a,b \in \mathbb{N}* \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2a - 3 \ge - 1\\2b - 3 \ge - 1\end{array} \right.\)
Ta có: \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2a - 3 = 3\\2b - 3 = - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2a - 3 = - 1\\2b - 3 = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\end{array} \right.\end{array} \right.\). Thử lại thì \(\left( {a;b} \right) = \left( {3;1} \right)\) thỏa mãn.
Nếu \(k \ge 3 \Rightarrow 3\left( {a + b} \right) = k\left( {ab + 3} \right) \ge 3\left( {ab + 3} \right) \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) + 2 < 0\)(vô lý vì \(a,b \in \mathbb{N}*)\)
Vậy các cặp số \(\left( {a,b} \right)\) thỏa mãn là \(\left( {3;1} \right);\left( {6;5} \right);\left( {9;4} \right)\)
Trong mặt phẳng cho \(2020\) điểm phân biệt sao cho từ ba điểm bất kỳ luôn chọn ra được hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn \(1\,cm\). Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính bằng \(1cm\) chứa không ít hơn \(1010\)điểm trong 2020 điểm đã cho.
Sử dụng nguyên lý Dirichlet
Gọi \(A\) là một điểm bất kỳ trong số \(2020\)điểm đã cho
Xét hình tròn \(\left( {A;1cm} \right)\)
Trường hợp 1: Nếu hình tròn \(\left( {A;1cm} \right)\) chứa tất cả \(2019\) điểm còn lại ta có điều phải chứng minh.
Trường hợp 2: Nếu trong \(2019\) điểm còn lại tồn tại điểm \(B\) nằm ngoài hình tròn \(\left( {A;1cm} \right)\) thì \(AB > 1cm,\)vẽ đường tròn \(\left( {B;1cm} \right).\)Ta chứng minh \(2018\)điểm còn lại hoặc thuộc hình tròn \(\left( {A;1cm} \right)\)hoặc thuộc hình tròn \(\left( {B;1cm} \right)\)
Thật vậy, giả sử tồn tại điểm \(C\) trong \(2018\) điểm còn lại nằm ngoài cả hai hình tròn \(\left( {A;1cm} \right);\left( {B;1cm} \right)\) như hình vẽ. Khi đó \(AC > 1cm,BC > 1cm.\) Như vậy với ba điểm \(A,B,C\) thì khoảng cách của hai điểm bất kỳ luôn lớn hơn \(1\) (mâu thuẫn với đề bài)
Vậy \(2018\) điểm còn lại hoặc thuộc hình tròn \(\left( {A;1cm} \right)\)hoặc thuộc hình tròn \(\left( {B;1cm} \right)\)
Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại một hình tròn chứa ít nhất \(1009\)điểm đã cho và chứa thêm điểm \(A\) hoặc điểm \(B\).
Vậy tồn tại một hình tròn có bán kính bằng \(1cm,\)chứa không ít hơn \(1010\)điểm đã cho.
Quảng cáo
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
