Cho tam giác \(ABC\) nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\)nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Các đường cao
Cho tam giác \(ABC\) nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\)nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Các đường cao \(AD,BE,CF\) của tam giác \(ABC\) đồng quy tại \(H.\) Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC,K\) là giao điểm của hai đường thẳng \(BC\) và \(EF\)
a) Chứng minh rằng \(KB.KC = KE.KF\) và \(H\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta DEF\).
b) Qua điểm \(F\) kẻ đường thẳng song song với đường thẳng \(AC,\) đường thẳng này cắt các đường thẳng \(AK,AD\)lần lượt tại \(P\) và \(Q.\) Chứng minh \(FP = FQ\).
c) Chứng minh rằng đường thẳng \(HK\) vuông góc với đường thẳng \(AM\).
Quảng cáo
a) Sử dụng tam giác đồng dạng, tứ giác nội tiếp để bắc cầu góc
b) Vận dụng định lý Ta – lét và tính chất đường phân giác trong, phân giác ngoài của tam giác
c) Ta sẽ chứng minh \(H\) là trực tâm tam giác \(AKM\) thông qua các bổ đề quen thuộc
a) Tứ giác \(BFEC\) nội tiếp và \(\Delta KBF \sim \Delta KEC\)
Khi đó \(\frac{{KF}}{{KC}} = \frac{{KB}}{{KE}} \Rightarrow KB.KC = KE.KF\)
Tứ giác \(BDHF\) nội tiếp , suy ra \(\widehat {FBH} = \widehat {FDH} & (1)\)
Tứ giác \(CDHE\) nội tiếp, suy ra \(\widehat {HDE} = \widehat {HCE} & (2)\)
Ta có: \(\widehat {FBE} = \widehat {FCE}\left( 3 \right)\)(tứ giác \(BFEC\) nội tiếp)
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right) \Rightarrow \widehat {FDH} = \widehat {EDH} \Rightarrow HD\) là phân giác của \(\widehat {FDE} & (4)\)
Chứng minh tương tự, ta được:\(HE\) là phân giác của \(\widehat {FED}\left( 5 \right)\)
Từ (4) và (5) \( \Rightarrow H\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta DEF\)
b) Gọi \(N\) là giao điểm của \(AD,KE\)
Theo tính chất đường phân giác trong của \(\Delta DEF \Rightarrow \frac{{NF}}{{NE}} = \frac{{DF}}{{DE}}\left( 6 \right)\)
Ta có \(KD\) là phân giác ngoài của \(\Delta FDE\) tại đỉnh \(D\). Theo tính chất đường phân giác ngoài của \(\Delta DEF \Rightarrow \frac{{KF}}{{KE}} = \frac{{DF}}{{DE}}\left( 7 \right)\)
Từ (6) và(7) \( \Rightarrow \frac{{NF}}{{NE}} = \frac{{KF}}{{KE}}\left( 8 \right)\)
Vì \(PQ{\rm{ // }}AC\), theo định lý Ta – let ta có:
\(\frac{{NF}}{{NE}} = \frac{{FQ}}{{AE}}\)và \(\frac{{KF}}{{KE}} = \frac{{FP}}{{AE}}\left( 9 \right)\)
Từ (8) và (9) \( \Rightarrow \frac{{FQ}}{{AE}} = \frac{{FP}}{{AE}} \Rightarrow FQ = FP\)
c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(KA\) với đường tròn \(\left( O \right)(I\) khác \(A\)) và \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(O\). Chứng minh được \(BHCA'\) là hình bình hành (bổ đề quen thuộc)
Suy ra ba điểm \(H,M,A'\) thẳng hàng
Vì tứ giác \(AIBC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow KI.KA = KB.KC\)
Theo câu 1) thì \(KB.KC = KF.KE\)
Suy ra \(KI.KA = KF.KE \Rightarrow AIFE\) là tứ giác nội tiếp
Vì ba điểm \(A,E,F\) thuộc đường tròn đường kính \(AH \Rightarrow I\) thuộc đường tròn đường kính \(AH\)\( \Rightarrow AI \bot HI\)
Ta có \(\widehat {AIA'} = {90^0} \Rightarrow AI \bot A'I\)
Kết hợp với \(AI \bot HI \Rightarrow H,I,A'\) thẳng hàng
Mặt khác ba điểm \(H,M,A'\) thẳng hàng nên 4 điểm \(H,M,I,A'\) thẳng hàng
Xét \(\Delta AKM\)có \(AH \bot KM\)và \(MH \bot AK \Rightarrow H\)là trực tâm \(\Delta AKM\)
Suy ra \(KH \bot AM\)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
