Cho \(x \in \mathbb{Z}\), chứng minh rằng \({x^{200}} + {x^{100}} + 1\) chia hết cho \({x^4} + {x^2} +

Câu hỏi số 502930:

Vận dụng cao

Cho \(x \in \mathbb{Z}\), chứng minh rằng \({x^{200}} + {x^{100}} + 1\) chia hết cho \({x^4} + {x^2} + 1\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:502930

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử

Giải chi tiết

Đặt \(A = {x^{200}} + {x^{100}} + 1\)

\( = {x^{200}} + {x^{100}} + 1 + {x^4} + {x^2} - {x^4} - {x^2}\)

\(\begin{array}{l} = \left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right) + \left( {{x^{200}} - {x^2}} \right) + \left( {{x^{100}} - {x^4}} \right)\\ = \left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right) + {x^2}\left( {{x^{198}} - 1} \right) + {x^4}\left( {{x^{96}} - 1} \right)\\ = \left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right) + {x^2}\left( {{{\left( {{x^6}} \right)}^{33}} - 1} \right) + {x^4}\left( {{{\left( {{x^6}} \right)}^{16}} - 1} \right)\\ = \left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right) + {x^2}\left( {{x^6} - 1} \right).B\left( x \right) - {x^4}\left( {{x^6} - 1} \right).C\left( x \right)\end{array}\)

Xét \({x^6} - 1 = {\left( {{x^3}} \right)^2} - 1 = \left( {{x^3} - 1} \right)\left( {{x^3} + 1} \right)\)

\(\begin{array}{l} = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)\\ = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^3} + {x^2} + {x^3} - {x^2} + x + {x^2} - x + 1} \right)\\ = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right) \vdots \left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow A \vdots \left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)\)

\( \Rightarrow \) Điều phải chứng minh

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link