Nghiệm của bất phương trình \(\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } >

Câu hỏi số 505016:

Vận dụng

Nghiệm của bất phương trình \(\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } > \dfrac{3}{2}\) là

A. \(S = \left[ {1;\,\,2} \right)\)

B. \(S = \left[ {2;\,\, + \infty } \right)\)

C. \(S = \left[ {1;\,\, + \infty } \right)\)

D. \(S = \left( {1;\,\,2} \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:505016

Phương pháp giải

Biến đổi bất phương trình đã cho về dạng \(\left| {\sqrt {x - 1} + 1} \right| + \left| {\sqrt {x - 1} - 1} \right| > \dfrac{3}{2}\).

Đặt: \(t = \sqrt {x - 1} ,\,\,t \ge 0\), bỏ dấu GTTĐ và giải bất phương trình ẩn \(t\) từ đó suy ra \(x\)

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x \ge 1\)

\(\begin{array}{l}\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } > \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 1 + 2.\sqrt {x - 1} .1 + 1} + \sqrt {x - 1 - 2.\sqrt {x - 1} .1 + 1} > \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)}^2}} > \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \left| {\sqrt {x - 1} + 1} \right| + \left| {\sqrt {x - 1} - 1} \right| > \dfrac{3}{2}\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Đặt: \(t = \sqrt {x - 1} ,\,\,t \ge 0\)

Bất phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành:

\(\left| {t + 1} \right| + \left| {t - 1} \right| > \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow t + 1 + \left| {t - 1} \right| > \dfrac{3}{2}\,\,\,\left( 2 \right)\)

+) Với \(t \ge 1\), bất phương trình \(\left( 2 \right)\) trở thành:

\(t + 1 + t - 1 > \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow 2t > \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow t > \dfrac{3}{4}\)

Kết hợp với điều kiện \(t \ge 1\) suy ra \(t \ge 1\).

\( \Rightarrow \sqrt {x - 1} \ge 1 \Leftrightarrow x \ge 2\)

+) Với \(0 \le t < 1\), bất phương trình \(\left( 2 \right)\) trở thành:

\(t + 1 - t + 1 > \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow 2 > \dfrac{3}{2}\) (thỏa mãn)

\( \Rightarrow 0 \le t < 1 \Rightarrow 0 \le \sqrt {x - 1} < 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le \sqrt {x - 1} \\\sqrt {x - 1} < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x < 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow 1 \le x < 2\)

Kết hợp hai trường hợp ta được: \(x \ge 1\)

Vậy \(S = \left[ {1;\,\, + \infty } \right)\).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10