Nghiệm của bất phương trình \(\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } >

Câu hỏi số 505016:

Vận dụng

Nghiệm của bất phương trình \(\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } > \dfrac{3}{2}\) là

A. \(S = \left[ {1;\,\,2} \right)\)

B. \(S = \left[ {2;\,\, + \infty } \right)\)

C. \(S = \left[ {1;\,\, + \infty } \right)\)

D. \(S = \left( {1;\,\,2} \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:505016

Phương pháp giải

Biến đổi bất phương trình đã cho về dạng \(\left| {\sqrt {x - 1} + 1} \right| + \left| {\sqrt {x - 1} - 1} \right| > \dfrac{3}{2}\).

Đặt: \(t = \sqrt {x - 1} ,\,\,t \ge 0\), bỏ dấu GTTĐ và giải bất phương trình ẩn \(t\) từ đó suy ra \(x\)

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x \ge 1\)

\(\begin{array}{l}\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } > \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 1 + 2.\sqrt {x - 1} .1 + 1} + \sqrt {x - 1 - 2.\sqrt {x - 1} .1 + 1} > \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)}^2}} > \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \left| {\sqrt {x - 1} + 1} \right| + \left| {\sqrt {x - 1} - 1} \right| > \dfrac{3}{2}\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Đặt: \(t = \sqrt {x - 1} ,\,\,t \ge 0\)

Bất phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành:

\(\left| {t + 1} \right| + \left| {t - 1} \right| > \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow t + 1 + \left| {t - 1} \right| > \dfrac{3}{2}\,\,\,\left( 2 \right)\)

+) Với \(t \ge 1\), bất phương trình \(\left( 2 \right)\) trở thành:

\(t + 1 + t - 1 > \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow 2t > \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow t > \dfrac{3}{4}\)

Kết hợp với điều kiện \(t \ge 1\) suy ra \(t \ge 1\).

\( \Rightarrow \sqrt {x - 1} \ge 1 \Leftrightarrow x \ge 2\)

+) Với \(0 \le t < 1\), bất phương trình \(\left( 2 \right)\) trở thành:

\(t + 1 - t + 1 > \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow 2 > \dfrac{3}{2}\) (thỏa mãn)

\( \Rightarrow 0 \le t < 1 \Rightarrow 0 \le \sqrt {x - 1} < 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le \sqrt {x - 1} \\\sqrt {x - 1} < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x < 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow 1 \le x < 2\)

Kết hợp hai trường hợp ta được: \(x \ge 1\)

Vậy \(S = \left[ {1;\,\, + \infty } \right)\).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.