Chứng minh rằng: a) \(A = {3^0} + {3^2} + {3^4} + \ldots + {3^{200}} + {3^{202}}\) chia hết cho \(7\). b) \(B

Câu hỏi số 505919:

Vận dụng

Chứng minh rằng:

a) \(A = {3^0} + {3^2} + {3^4} + \ldots + {3^{200}} + {3^{202}}\) chia hết cho \(7\).

b) \(B = 7 + {7^3} + {7^5} + \ldots + {7^{2019}} + {7^{2021}}\) chia hết cho \(35\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:505919

Phương pháp giải

a) Nhóm ba số hạng của tổng để xuất hiện thừa số chia hết cho \(7\).

b) Chứng minh tổng chia hết cho \(5\) và chia hết cho \(7\).

Giải chi tiết

a) \(A = {3^0} + {3^2} + {3^4} + \ldots + {3^{200}} + {3^{202}}\) chia hết cho \(7\).

\(\begin{array}{l}A = {3^0} + {3^2} + {3^4} + \ldots + {3^{200}} + {3^{202}}\\A = \left( {{3^0} + {3^2} + {3^4}} \right) + \left( {{3^6} + {3^8} + {3^{10}}} \right) + \ldots + \left( {{3^{198}} + {3^{200}} + {3^{202}}} \right)\\A = \left( {1 + {3^2} + {3^4}} \right) + {3^6}\left( {1 + {3^2} + {3^4}} \right) + \ldots + {3^{198}}\left( {1 + {3^2} + {3^4}} \right)\\A = \left( {1 + {3^2} + {3^4}} \right)\left( {1 + {3^6} + \ldots + {3^{198}}} \right)\\A = 91.\left( {1 + {3^6} + \ldots + {3^{198}}} \right)\end{array}\)

Vì \(91\,\, \vdots \,\,7\) nên \(A\,\, \vdots \,\,7\).

b) \(B = 7 + {7^3} + {7^5} + \ldots + {7^{2019}} + {7^{2021}}\) chia hết cho \(35\).

*) Chứng minh \(B\) chia hết cho \(5\)

\(\begin{array}{l}B = 7 + {7^3} + {7^5} + \ldots + {7^{2019}} + {7^{2021}}\\B = \left( {7 + {7^3}} \right) + \left( {{7^5} + {7^7}} \right) + \ldots + {7^{2019}} + {7^{2021}}\\B = 7\left( {1 + {7^2}} \right) + {7^5}\left( {1 + {7^2}} \right) + \ldots + {7^{2019}}\left( {1 + {7^2}} \right)\\B = \left( {1 + {7^2}} \right)\left( {7 + {7^5} + \ldots + {7^{2019}}} \right)\\B = 50.\left( {7 + {7^5} + \ldots + {7^{2019}}} \right)\end{array}\)

Vì \(50\,\, \vdots \,\,5\) nên \(B\,\, \vdots \,\,5\).

*) Chứng minh \(B\) chia hết cho \(7\)

\(\begin{array}{l}B = 7 + {7^3} + {7^5} + \ldots + {7^{2019}} + {7^{2021}}\\B = 7\left( {1 + {7^2} + {7^4} + \ldots + {7^{2018}} + {7^{2020}}} \right)\end{array}\)

Vì \(7\,\, \vdots \,\,7\) nên \(B\,\, \vdots \,\,7\).

Vậy \(B\) chia hết cho \(35\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link