Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left(

Câu hỏi số 507116:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = mx + 3\) (\(m\)là tham số).

1. Vẽ parabol \(\left( P \right)\).

2. Khi \(m = 2\), tìm tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) bằng phép tính.

3. Tìm m để đường thẳng \(\left( d \right)\) và parabol \(\left( P \right)\) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{3}{2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:507116

Phương pháp giải

1) Lập bảng giá trị để vẽ đồ thi hàm số

2) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\), đưa về phương trình bậc hai một ẩn sau đó giải phương trình để tìm nghiệm và suy ra giao điểm

3) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\), đưa về phương trình bậc hai một ẩn, yêu cầu đề bài được đưa về tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{3}{2}\).

Giải chi tiết

1) Parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\) có bề lõm hướng lên và nhận \(Oy\) làm trục đối xứng.

Ta có bảng giá trị sau:

\( \Rightarrow \) Parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\) đi qua các điểm \(\left( { - 2;4} \right)\), \(\left( { - 1;1} \right)\), \(\left( {0;0} \right)\), \(\left( {1;1} \right)\), \(\left( {2;4} \right)\).

Đồ thị Parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\):

2) Khi \(m = 2\), đường thẳng \(\left( d \right)\) có dạng \(\left( d \right):\,\,y = 2x + 3\).

Hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là nghiệm của phương trình: \({x^2} = 2x + 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0\).

Ta có \(a - b + c = 1 - \left( { - 2} \right) - 3 = 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = - 1\\{x_2} = \frac{{ - c}}{a} = 3\end{array} \right.\).

Với \({x_1} = - 1 \Rightarrow {y_1} = x_1^2 = 1\) \( \Rightarrow A\left( { - 1;1} \right)\).

Với \({x_2} = 3 \Rightarrow {y_2} = x_2^2 = 9 \Rightarrow B\left( {3;9} \right)\).

Vậy khi \(m = 2\) thì \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) cắt nhau tại 2 điểm \(A\left( { - 1;1} \right)\) và \(B\left( {3;9} \right)\).

3) Xét phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} = mx + 3 \Leftrightarrow {x^2} - mx - 3 = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Để \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt.

\( \Rightarrow \Delta = {m^2} - 4.1.\left( { - 3} \right) = {m^2} + 12 > 0\) (luôn đúng với mọi \(m\)).

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = - 3\end{array} \right.\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{m}{{ - 3}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow m = - \frac{9}{2}\end{array}\)

Vậy \(m = - \frac{9}{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link