Cho tập hợp \(X = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}\), chia tập hợp X thành 2 tập hợp khác rỗng và

Câu hỏi số 507177:

Vận dụng cao

Cho tập hợp \(X = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}\), chia tập hợp X thành 2 tập hợp khác rỗng và không có phần tử chung. Chứng minh rằng với mọi cách chia thì luôn tồn tại ba số \(a,\,\,b,\,\,c\) trong một tập hợp thỏa mãn \(a + c = 2b\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:507177

Phương pháp giải

Nhận xét về tính chất của các số, sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng: Giả sử tồn tại cách chia tập hợp X thành 2 tập hợp A và B sao cho không tồn tại 3 số a, b, c trong một tập hợp và thỏa mãn \(a + c = 2b\), biện luận và giải bài toán.

Giải chi tiết

Nếu \(a,\,\,b,\,\,c\) là 3 số tự nhiên liên tiếp, hoặc 3 số chẵn liên tiếp, hoặc 3 số lẻ liên tiếp thì đều thỏa mãn \(a + c = 2b\)

Ngoài ra ta có các bộ số \(\left( {1;5;9} \right),\,\,\left( {2;5;8} \right)\) cũng thỏa mãn \(a + c = 2b\).

Giả sử tồn tại cách chia tập hợp X thành 2 tập hợp A và B sao cho không tồn tại 3 số a, b, c trong một tập hợp và thỏa mãn \(a + c = 2b\).

Giả sử tập hợp A chứa phần tử 5.

Thế thì 4 và 6 không đồng thời thuộc A.

* Nếu \(4 \in A\) và \(6 \in B\):

Vì \(4,\,\,5 \in A \Rightarrow 3 \in B\)

\(3;\,\,6 \in B \Rightarrow 9 \in A\).

\(3;\,\,9 \in A \Rightarrow 1;\,\,7 \in B\)

Vậy \(1;3;6;7 \in B\) \( \Rightarrow 2;8 \in A\).

* Nếu \(4 \in B\) và \(6 \in A\)

\(\begin{array}{l}4;6 \in A \Rightarrow 7 \in B\\4;7 \in B \Rightarrow 1 \in A\\1;5 \in A \Rightarrow 3 \in B\\1;5 \in A \Rightarrow 9 \in B\end{array}\)

Vậy \(4,3,7,9 \in B,\,\,2;8 \in A\).

* Nếu \(4 \in B\) và \(6 \in B\)

\( \Rightarrow 2 \in A,\,\,8 \in A\)

Vô lý vì \(2 + 8 = 2.5\).

Vậy giả sử là sai.

Hoàn tất chứng minh.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link