Cho hình thoi \(ABCD\). Từ đỉnh \(B\), kẻ các đường thẳng vuông góc \(BE,BF\) đến \(AD,DC\) cắt
Cho hình thoi \(ABCD\). Từ đỉnh \(B\), kẻ các đường thẳng vuông góc \(BE,BF\) đến \(AD,DC\) cắt \(AC\) theo thứ tự ở điểm \(M\) và \(N\). Chứng minh rằng \(BMDN\) là hình thoi.
Quảng cáo
+ Sử dụng tính chất của hình thoi, hình tam giác cân.
+ Vận dụng dấu hiệu nhận biết hình thoi: Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi
\(ABCD\) là hình thoi \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = BC\\\angle BAD = \angle ACD\end{array} \right.\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle EAB + \angle BAD = \angle EAD = {180^0}\\\angle FCB + \angle BCD = \angle FCD = {180^0}\end{array} \right.\)
Mà \(\angle BAD = \angle ACD\)
Suy ra, \(\angle EAB = \angle FCB\)
Xét \(\Delta EAB\) và \(\Delta FCB\) có:
\(\left. \begin{array}{l}AB = BC\\\angle EAB = \angle FCB\\\angle BEA = \angle BFC = {90^0}\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta EAB = \Delta FCB\left( {ch - gn} \right)\)
\( \Rightarrow \angle EBA = \angle FBC\) (2 góc tương ứng)
\(ABCD\) là hình thoi \( \Rightarrow BD\) là phân giác của \(\angle ABC \Rightarrow \angle ABO = \angle CBO\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle MBO = \angle MBA + \angle ABO\\\angle NBO = \angle NBC + \angle CBO\end{array} \right.\)
Mà \(\angle MBA = \angle NBC;\angle ABO = \angle CBO\)
Suy ra, \(\angle MBO = \angle NBO\) nên \(BO\) là phân giác của \(\angle MBN\)
Tam giác \(MBN\) có: \(BO\) là đường cao, \(BO\) là đường phân giác nên \(BO\) là đường trung trực của \(\Delta MBN\)\( \Rightarrow OM = ON\)
Tứ giác \(BMDN\) có hai đường chéo \(BD,MN\) cắt nhau tại trung điểm \(O\) của mỗi đường nên \(BMDN\) là hình bình hành.
Lại có: \(BD \bot MN\) (vì \(BD \bot AC\))
Vậy \(BMDN\) là hình thoi (dhnb hình thoi).
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
