Cho tam giác \(ABC\) nhọn, các đường cao \(BD,CE\). Tia phân giác của các
Cho tam giác \(ABC\) nhọn, các đường cao \(BD,CE\). Tia phân giác của các \(\angle ABD\) và \(\angle ACE\) cắt nhau tại \(O\), cắt \(AC\) và \(AB\) lần lượt tại \(N\) và \(M\). Tia \(BN\) cắt \(CE\) tại \(K\), tia \(CM\) cắt \(BD\) tại \(H\). Chứng minh rằng:
a) \(BN \bot CM\);
b) Tứ giác \(MNHK\) là hình thoi.
Quảng cáo
a) Vận dụng các góc phụ nhau trong một tam giác vuông và tổng ba góc trong một tam giác.
b) Vận dụng dấu hiệu nhận biết hình bình hành và mối liên hệ giữa hình bình hành và hình thoi.
a) \(\Delta ACE\) vuông tại \(E\) (vì \(CE \bot AB\)(gt))
\( \Rightarrow \angle EAC + \angle ACE = \angle AEC = {90^0}\) (1)
\(\Delta ADE\) vuông tại \(D\) (vì \(BD \bot AC\) (gt)
\( \Rightarrow \angle ABD + \angle BAD = \angle ADB = {90^0}\) (2)
Từ (1) và (2), suy ra \(\angle ABD = \angle ACE\) (cùng phụ với \(\angle BAC\))
\(BN\) là phân giác của \(\angle ABD \Rightarrow \angle DBN = \frac{1}{2}\angle ABD\)
\(CM\) là phân giác của \(\angle ACE \Rightarrow \angle ACM = \frac{1}{2}\angle ACE\)
Suy ra, \(\angle DBN = \angle ACM\)
\(\Delta CDH\) vuông tại \(D\) (vì \(BD \bot AC\) (gt))\( \Rightarrow \)\(\angle DCH + \angle DHC = \angle HDC = {90^0}\)
Mà \(\angle OBD = \angle DCO\) (cmt); \(\angle OHB = \angle DHC\) (2 góc đối đỉnh)
Suy ra, \(\angle OBH + \angle OHB = \angle BOH = {90^0}\)
\( \Rightarrow OH \bot OB\)
\( \Rightarrow BN \bot CM\)
b) Xét \(\Delta COK\) và \(\Delta CON\) có:
\( \Rightarrow O\) là trung điểm của \(KN\)
Chứng minh tương tự, ta có: \(\Delta BOM = \Delta BOH\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow OM = OH\)(2 cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow O\) là trung điểm của \(HM\)
Tứ giác \(MNHK\) có hai đường chéo \(KN\) và \(HM\) cắt nhau tại trung điểm \(O\) của mỗi đường
\( \Rightarrow MNHK\) là hình bình hành (dhnb hình bình hành)
Lại có: \(KN \bot MH\) (vì \(BN \bot CM\))
Vậy \(MNHK\) là hình thoi (dhnb hình thoi)
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
