Cho \(Q = \left[ {\frac{{{{(x - 1)}^2}}}{{3x + {{(x - 1)}^2}}} - \frac{{1 - 2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}} + \frac{1}{{x -

Câu hỏi số 507712:

Vận dụng

Cho \(Q = \left[ {\frac{{{{(x - 1)}^2}}}{{3x + {{(x - 1)}^2}}} - \frac{{1 - 2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}} + \frac{1}{{x - 1}}} \right]:\frac{{3x}}{{{x^3} + x}}\)

a) Tìm điều kiện của \(x\) để Q xác định.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của Q.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:507712

Phương pháp giải

a) Xác định điều kiện ở mẫu thức khác 0.

b) Biến đổi các biểu thức, dựa vào điều kiện xác định để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.

Giải chi tiết

a) ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + {\left( {x - 1} \right)^2} \ne 0\\{x^3} - 1 \ne 0\\{x^3} + x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \pm 1\\x \ne 0\end{array} \right..\)

Vậy điều kiện xác định của \(Q\) là: \(x \ne \pm 1;x \ne 0\)

b) \(Q = \left[ {\frac{{{{(x - 1)}^2}}}{{3x + {{(x - 1)}^2}}} - \frac{{1 - 2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}} + \frac{1}{{x - 1}}} \right]:\frac{{3x}}{{{x^3} + x}}\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\, = \left[ {\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{3x + {x^2} - 2x + 1}} - \frac{{1 - 2{x^2} + 4x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{1}{{x - 1}}} \right]:\frac{{3x}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \left[ {\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{2{x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{1}{{x - 1}}} \right].\frac{{x({x^2} + 1)}}{{3x}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{{{(x - 1)}^3} + 2{x^2} - 4x - 1 + {x^2} + x + 1}}{{{x^3} - 1}}.\frac{{{x^2} + 1}}{3}\\\,\,\,\,\, = \frac{{{x^3} - 3x{}^2 + 3x - 1 + 2{x^2} - 4x - 1 + {x^2} + x + 1}}{{{x^3} - 1}}.\frac{{{x^2} + 1}}{3}\\\,\,\,\,\, = \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^3} - 1}}.\frac{{{x^2} + 1}}{3} = \frac{{{x^2} + 1}}{3}.\end{array}\)

Ta có \(Q = \frac{{{x^2} + 1}}{3}\),

\({x^2} \ge 0\,\,\forall x \Rightarrow {x^2} + 1 \ge 1\,\,\forall x \Rightarrow \frac{{{x^2} + 1}}{3} \ge \frac{1}{3}\forall x\)

Vậy \(\,{Q_{\max }} = \frac{1}{3}.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link