Cho \(p\) là số nguyên tố sao cho tồn tại các số nguyên dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \({x^3} + {y^3} -

Câu hỏi số 507750:

Vận dụng cao

Cho \(p\) là số nguyên tố sao cho tồn tại các số nguyên dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \({x^3} + {y^3} - p = 6xy - 8\). Tìm giá trị lớn nhất của \(p\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:507750

Phương pháp giải

Từ phương trình của đề bài, xác định p theo \(x\), \(y\)

Sử dụng phương pháp đánh giá để tìm các bộ số nguyên thỏa mãn phương trình

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^3} + {y^3} - p = 6xy - 8\\ \Leftrightarrow p = {x^3} + {y^2} - 6xy + 8\\ \Leftrightarrow p = {x^3} + {y^3} + {2^3} - 3xy.2\\ \Leftrightarrow p = \left( {x + y + 2} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + 4 - xy - 2x - 2y} \right)\end{array}\)

Vì \(p\) là số nguyên tố và \(x + y + 2 > 1\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 2 = 8\\{x^2} + {y^2} + 4 - xy - 2x - 2y = 1\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{y}{2} - 1} \right)^2} + \frac{{3{y^2}}}{4} - 3y + 3 = 1\\ \Leftrightarrow {\left( {2x - y - 2} \right)^2} + 3{\left( {y - 2} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\left( {2x - y - 2} \right)^2} = 1\\{\left( {y - 2} \right)^2} = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{\left( {2x - y - 2} \right)^2} = 4\\{\left( {y - 2} \right)^2} = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\left( {2x - y - 2} \right)^2} = 1\\\left[ \begin{array}{l}y = 3\\y = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{\left( {2x - y - 2} \right)^2} = 4\\y = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 3\\{\left( {2x - 5} \right)^2} = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 1\\{\left( {2x - 3} \right)^2} = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 2\\{\left( {2x - 4} \right)^2} = 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}p = 8\,\,\left( {ktm} \right)\\p = 7\,\,\left( {tm} \right)\\p = 5\,\,\left( {tm} \right)\\p = 4\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \({p_{\max }} = 7\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link