Cho \(p\) là số nguyên tố sao cho tồn tại các số nguyên dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \({x^3} + {y^3} -

Câu hỏi số 507750:

Vận dụng cao

Cho \(p\) là số nguyên tố sao cho tồn tại các số nguyên dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \({x^3} + {y^3} - p = 6xy - 8\). Tìm giá trị lớn nhất của \(p\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:507750

Phương pháp giải

Từ phương trình của đề bài, xác định p theo \(x\), \(y\)

Sử dụng phương pháp đánh giá để tìm các bộ số nguyên thỏa mãn phương trình

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^3} + {y^3} - p = 6xy - 8\\ \Leftrightarrow p = {x^3} + {y^2} - 6xy + 8\\ \Leftrightarrow p = {x^3} + {y^3} + {2^3} - 3xy.2\\ \Leftrightarrow p = \left( {x + y + 2} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + 4 - xy - 2x - 2y} \right)\end{array}\)

Vì \(p\) là số nguyên tố và \(x + y + 2 > 1\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 2 = 8\\{x^2} + {y^2} + 4 - xy - 2x - 2y = 1\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{y}{2} - 1} \right)^2} + \frac{{3{y^2}}}{4} - 3y + 3 = 1\\ \Leftrightarrow {\left( {2x - y - 2} \right)^2} + 3{\left( {y - 2} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\left( {2x - y - 2} \right)^2} = 1\\{\left( {y - 2} \right)^2} = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{\left( {2x - y - 2} \right)^2} = 4\\{\left( {y - 2} \right)^2} = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\left( {2x - y - 2} \right)^2} = 1\\\left[ \begin{array}{l}y = 3\\y = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{\left( {2x - y - 2} \right)^2} = 4\\y = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 3\\{\left( {2x - 5} \right)^2} = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 1\\{\left( {2x - 3} \right)^2} = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 2\\{\left( {2x - 4} \right)^2} = 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}p = 8\,\,\left( {ktm} \right)\\p = 7\,\,\left( {tm} \right)\\p = 5\,\,\left( {tm} \right)\\p = 4\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \({p_{\max }} = 7\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link