Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\frac{1}{2}{\log _2}\left( {x + 3} \right) = {\log

Câu hỏi số 508010:

Vận dụng

Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\frac{1}{2}{\log _2}\left( {x + 3} \right) = {\log _2}\left( {x + 1} \right) + {x^2} - x - 4 + 2\sqrt {x + 3} $.

A. $S = 2$

B. $S = 1$

C. $S = - 1$

D. $S = 1 - \sqrt 2 $

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:508010

Giải chi tiết

Điều kiện: $x > - 1$

Ta có:

$\frac{1}{2}{\log _2}\left( {x + 3} \right) = {\log _2}\left( {x + 1} \right) + {x^2} - x - 4 + 2\sqrt {x + 3} \Leftrightarrow {\log _2}\sqrt {x + 3} + {\left( {\sqrt {x + 3} - 1} \right)^2} = {\log _2}\left( {x + 1} \right) + {x^2}\,\,\,\left( * \right)$

Xét hàm số $f\left( t \right) = {\log _2}t + {\left( {t - 1} \right)^2}$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$

$f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 2\left( {t - 1} \right) = \frac{{1 + 2\ln 2\left( {{t^2} - 1} \right)}}{{t\ln 2}} = \frac{{2\ln 2{{\left( {t - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \left( {1 - \ln \sqrt 2 } \right)}}{{t\ln 2}} > 0\,\,\forall t > 0$

Vậy hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$

Suy ra $\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {\sqrt {x + 3} } \right) = f\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow \sqrt {x + 3} = x + 1$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\{x^2} + x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng $1$.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.