Tìm m để hệ phương trình (x, y ∈ R) có nghiệm.

Câu hỏi số 50874:

Tìm m để hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + x - y\sqrt {y - 1} = 0\\ \sqrt {y + x} - \sqrt {y - x} = m \end{array} \right.\,\,$ (x, y ∈ R) có nghiệm.

A. m ∈ [0; 5]

B. m ∈ [0; 1]

C. m ∈ [0; 3]

D. m ∈ [0; 4]

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:50874

Giải chi tiết

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} y \ge 1\\ x + y \ge 0\\ y - x \ge 0 \end{array} \right.$

hệ phương trình đã cho tương đương với

$\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + x = {(\sqrt {y - 1} )^3} + \sqrt {y - 1} \,\,(1)\\ \sqrt {y + x} - \sqrt {y - x} = m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \end{array} \right.$ (x, y ∈ R)

Xét hàm số f(t) = t³ + t; f’(t) = 3t² + 1 >0 , ∀t

=> f(t) luôn đồng biến

Mà (1) có: f(x) = $f(\sqrt {y - 1} )$ => (1) <=> x = $\sqrt {y - 1}$

<=> $\left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ y = {x^2} + 1 \end{array} \right.$

Thay y vào (2) ta có $\sqrt {{x^2} + x + 1}$ - $\sqrt {{x^2} - x + 1}$ = m(3)

Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (3) có nghiệm thoả mãn

x ≥ 0 <=> m thuộc miền giá trị của hàm

g(x) = $\sqrt {{x^2} + x + 1}$ - $\sqrt {{x^2} - x + 1}$ / [0; +∞)

g'(x) = $\frac{{2x + 1e_2\sqrt {{x^2} + x + 1} - \frace_2x - 1e_2\sqrt {{x^2} - x + 1}$

g'(x) = 0 < => (2x + 1) $\sqrt e_x^2} - x + 1}$ = (2x - 1) $\sqrt {{x^2}+ x + 1}$

<=> (2x + 1)(2x - 1) ≥ 0 và (x + $\frac{1}{2}$ )²[(x - $\frac{1}{2}$ )² + $\frac{3}{4}$ ] = (x - $\frac{1}{2}$ )²[(x + $\frac{1}{2}$ )²+ $\frac{3}{4}$ ]

<=> x ∈ Φ

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }$ g(x) = 1 lập bảng biến thiên ta được m ∈ [0; 1]

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.