Tìm \(m,\,\,n \in \mathbb{N}\), biết: \({2^m} + {2^n} = {2^{m + n}}\).

Câu hỏi số 508978:

Vận dụng cao

A. \(m = 2;\,\,n = 2\)

B. \(m = 1;\,\,n = 2\)

C. \(m = 1;\,\,n = 1\)

D. \(m = 2;\,\,n = 1\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:508978

Phương pháp giải

Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng \(\left( {{2^m} - 1} \right)\left( {{2^n} - 1} \right) = 1\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{2^m} + {2^n} = {2^{m + n}}\\{2^m} + {2^n} - {2^{m + n}} = 0\\{2^m} + {2^n} - {2^m}{.2^n} = 0\\{2^m} - \left( {{2^m}{{.2}^n} - {2^n}} \right) = 0\\{2^m} - {2^n}.\left( {{2^m} - 1} \right) = 0\\\left( {{2^m} - 1} \right) - {2^n}.\left( {{2^m} - 1} \right) + 1 = 0\\\left( {{2^m} - 1} \right) - {2^n}.\left( {{2^m} - 1} \right) + 1 = 0\\\left( {{2^m} - 1} \right)\left( {1 - {2^n}} \right) + 1 = 0\\\left( {{2^m} - 1} \right)\left( {1 - {2^n}} \right) = - 1\\\left( {{2^m} - 1} \right)\left( {{2^n} - 1} \right) = 1\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Vì \(m,n \in \mathbb{N}\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{2^m} \in \mathbb{N}\\{2^n} \in \mathbb{N}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^m} - 1 \in \mathbb{N}\\{2^n} - 1 \in \mathbb{N}\end{array} \right.\)

Do đó, \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^m} - 1 = 1\\{2^n} - 1 = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^m} = 2\\{2^n} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\n = 1\end{array} \right.\)

Vậy \(m = 1;\,\,n = 1\).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link