Cho \(n \in {\mathbb{N}^*},\)chứng minh rằng: \(C = {7.2^{2n - 2}} + {3^{2n - 1}}\,\, \vdots \,\,5\)

Câu hỏi số 512055:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:512055

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp quy nạp.

Giải chi tiết

Ta cần chứng minh: \(C = {7.2^{2n - 2}} + {3^{2n - 1}}\,\, \vdots \,\,5,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}\)

+) Với \(n = 1 \Rightarrow C = {7.2^0} + {3^1} = 10\,\, \vdots \,\,5\) (đúng)

+) Giả sử \({7.2^{2n - 2}} + {3^{2n - 1}}\,\, \vdots \,\,5\) đúng với \(n = k\) hay \({C_k} = {7.2^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}\,\, \vdots \,\,5\) (giả thiết quy nạp)

+) Ta đi chứng minh \({7.2^{2n - 2}} + {3^{2n - 1}}\,\, \vdots \,\,5\) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh: \({C_{k + 1}} = {7.2^{2\left( {k + 1} \right) - 2}} + {3^{2\left( {k + 1} \right) - 1}}\,\, \vdots \,\,5\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{C_{k + 1}} = {7.2^{2\left( {k + 1} \right) - 2}} + {3^{2\left( {k + 1} \right) - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {7.2^{2k + 2 - 2}} + {3^{2k + 2 - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {7.2^2}{.2^{2k - 2}} + {3^2}{.3^{2k - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {4.7.2^{2k - 2}} + {9.3^{2k - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {4.7.2^{2k - 2}} + {4.3^{2k - 1}} + {5.3^{2k - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4\left( {{{7.2}^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}} \right) + {5.3^{2k - 1}}.\end{array}\)

Vì \({7.2^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}\,\, \vdots \,\,5 \Rightarrow 4\left( {{{7.2}^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}} \right)\,\, \vdots \,\,5\)

\( \Rightarrow 4\left( {{{7.2}^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}} \right) + {5.3^{2k - 1}}\,\, \vdots \,\,5\)

\( \Rightarrow {7.2^{2n - 2}} + {3^{2n - 1}}\,\, \vdots \,\,5\) đúng với \(n = k + 1\).

Vậy \(C = {7.2^{2n - 2}} + {3^{2n - 1}}\,\, \vdots \,\,5\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link