Hai quả cầu kim loại có khối lượng bằng nhau được treo vào hai đĩa của một cân đòn. Hai

Câu hỏi số 512743:

Vận dụng cao

Hai quả cầu kim loại có khối lượng bằng nhau được treo vào hai đĩa của một cân đòn. Hai quả cầu có khối lượng riêng lần lượt là \({D_1} = 7,8\,\,g/c{m^3};\,\,{D_2} = 2,6\,\,g/c{m^3}\). Nhúng quả cầu thứ nhất vào chất lỏng có khối lượng riêng \({D_3}\), quả cầu thứ hai vào chất lỏng có khối lượng riêng \({D_4}\) thì cân mất thăng bằng. Để cân thăng bằng trở lại, ta phải bỏ vào đĩa có quả cầu thứ hai một vật có khối lượng \({m_1} = 17\,\,g\). Đổi vị trí hai chậu chất lỏng cho nhau, để cân thăng bằng, ta phải thêm \({m_2} = 27\,\,g\) cũng vào đĩa có quả cầu thứ hai. Tìm tỉ số khối lượng riêng của hai chất lỏng.

A. \(\dfrac{{{D_3}}}{{{D_4}}} = \dfrac{{49}}{{54}}\)

B. \(\dfrac{{{D_4}}}{{{D_3}}} = \dfrac{{49}}{{39}}\).

C. \(\dfrac{{{D_3}}}{{{D_4}}} = \dfrac{{49}}{{39}}\).

D. \(\dfrac{{{D_4}}}{{{D_3}}} = \dfrac{{49}}{{54}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:512743

Phương pháp giải

Thể tích: \(V = \dfrac{m}{D}\)

Lực đẩy Ác-si-mét: \({F_A} = 10D.V\)

Momen lực: \(M = F.d\)

Hệ thống cân bằng khi: \({M_1} = {M_2}\)

Giải chi tiết

Giả sử hai vật có khối lượng bằng nhau và bằng m:

\(\begin{array}{l}m = {D_1}{V_1} = {D_2}{V_2}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{V_1} = \dfrac{m}{{{D_1}}}\\{V_2} = \dfrac{m}{{{D_2}}}\end{array} \right.\end{array}\)

(với \({V_1},\,\,{V_2}\) là thể tích tương ứng của hai vật)

Ban đầu cân thăng bằng, ta có:

\({M_1} = {M_2} \Rightarrow 10{m_1}{d_1} = 10{m_2}{d_2} \Rightarrow {d_1} = {d_2} = l\) (với \({d_1},\,\,{d_2}\) là chiều dài hai cánh tay đòn của cân)

+ Trường hợp 1: nhúng quả cầu 1 vào chất lỏng \({D_3}\), quả cầu 2 vào chất lỏng \({D_4}\):

Lực đẩy Ác-si-mét tác dụng lên hai quả cầu là:

\(\begin{array}{l}{F_{{A_1}}} = 10{D_3}.{V_1} = 10m\dfrac{{{D_3}}}{{{D_1}}}\\{F_{{A_2}}} = 10{D_4}.{V_2} = 10m\dfrac{{{D_4}}}{{{D_2}}}\end{array}\)

Momen các lực làm cân quay theo chiều kim đồng hồ là:

\(\begin{array}{l}{M_{{P_2}}} = 10m.l\\{M_{{F_1}}} = {F_{{A_1}}}.l = 10ml\dfrac{{{D_3}}}{{{D_1}}}\\{M_{{m_1}}} = 10{m_1}.l\\ \Rightarrow {M_c} = {M_P} + {M_{{F_1}}} + {M_{{m_1}}} = 10m.l + 10ml\dfrac{{{D_3}}}{{{D_1}}} + 10{m_1}.l\end{array}\)

Momen các lực làm cân quay ngược chiều kim đồng hồ là:

\(\begin{array}{l}{M_{{P_1}}} = 10ml\\{M_{{F_2}}} = {F_{{A_2}}}.l = 10ml\dfrac{{{D_4}}}{{{D_2}}}\\ \Rightarrow {M_n} = {M_{{P_1}}} + {M_{{F_2}}} = 10ml + 10ml\dfrac{{{D_4}}}{{{D_2}}}\end{array}\)

Cân thăng bằng, ta có:

\(\begin{array}{l}{M_c} = {M_n} \Rightarrow 10ml + 10ml\dfrac{{{D_3}}}{{{D_1}}} + 10{m_1}l = 10ml + 10ml\dfrac{{{D_4}}}{{{D_2}}}\\ \Rightarrow \dfrac{{{D_3}}}{{{D_1}}} + \dfrac{{{m_1}}}{m} = \dfrac{{{D_4}}}{{{D_2}}} \Rightarrow \dfrac{{{D_4}{D_1} - {D_3}{D_2}}}{{{D_1}{D_2}}} = \dfrac{{{m_1}}}{m}\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

+ Trường hợp 2: nhúng quả cầu 1 vào chất lỏng \({D_4}\), quả cầu 2 vào chất lỏng \({D_3}\):

Tương tự, ta có momen các lực làm cân quay theo chiều kim đồng hồ và ngược chiều kim đồng hồ là:

\(\begin{array}{l}{M_c}' = 10ml + 10ml\dfrac{{{D_4}}}{{{D_1}}} + 10{m_2}l\\{M_n}' = 10ml + 10ml\dfrac{{{D_3}}}{{{D_2}}}\end{array}\)

Cân thăng bằng nên:

\(\begin{array}{l}{M_c}' = {M_n}' \Rightarrow 10ml + 10ml\dfrac{{{D_4}}}{{{D_1}}} + 10{m_2}l = 10ml + 10ml\dfrac{{{D_3}}}{{{D_2}}}\\ \Rightarrow \dfrac{{{D_4}}}{{{D_1}}} + \dfrac{{{m_2}}}{m} = \dfrac{{{D_3}}}{{{D_2}}} \Rightarrow \dfrac{{{D_3}{D_1} - {D_4}{D_2}}}{{{D_1}{D_2}}} = \dfrac{{{m_2}}}{m}\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Chia hai vế phương trình (1) và (2), ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{D_4}{D_1} - {D_3}{D_2}}}{{{D_3}{D_1} - {D_4}{D_2}}} = \dfrac{{{m_1}}}{{{m_2}}} \Rightarrow {D_4}{D_1}{m_2} - {D_3}{D_2}{m_2} = {D_3}{D_1}{m_1} - {D_4}{D_2}{m_1}\\ \Rightarrow {D_4}\left( {{D_1}{m_2} + {D_2}{m_1}} \right) = {D_3}\left( {{D_1}{m_1} + {D_2}{m_2}} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{{D_3}}}{{{D_4}}} = \dfrac{{{D_1}{m_2} + {D_2}{m_1}}}{{{D_1}{m_1} + {D_2}{m_2}}} = \dfrac{{7,8.27 + 2,6.17}}{{7,8.17 + 2,6.27}} = \dfrac{{49}}{{39}}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link