Một thanh đồng chất, tiết diện đều có chiều dài \(AB = l = 40\,\,cm\) được dựng trong chậu
Một thanh đồng chất, tiết diện đều có chiều dài \(AB = l = 40\,\,cm\) được dựng trong chậu như hình vẽ sao cho \(OA = \dfrac{{OB}}{3}\) và góc \(ABx = {30^0}\). Người ta đổ nước vào chậu cho đến khi thanh bắt đầu nổi (đầu B không còn tựa trên đáy chậu). Biết thanh được giữ chặt tại O và chỉ có thể quay quanh O.
a) Tìm mực nước cần đổ vào chậu. Cho khối lượng riêng của thanh và nước lần lượt là \({D_1} = 1120\,\,kg/{m^3};\,\,{D_2} = 1000\,\,kg/{m^3}\).
b) Thay nước bằng chất lỏng khác. Khối lượng riêng của chất lỏng phải như thế nào để thực hiện thí nghiệm trên?
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Trọng lượng: \(P = 10{D_1}.V\)
Lực đẩy Ác-si-mét: \({F_A} = 10{D_2}.V\)
Lực đẩy Ác-si-mét có điểm đặt tại tâm của phần vật chìm trong chất lỏng.
Momen lực: \(M = F.d\)
Thanh cân bằng khi: \({M_1} = {M_2}\)
a) Gọi tiết diện của thanh là S
Trọng lượng của thanh là: \(P = 10{D_1}.S.l\)
Giả sử khi đổ nước đến điểm C của thanh thì nó bắt đầu nổi
Điểm đặt của trọng lực tại trung điểm G của AB:
\(\left\{ \begin{array}{l}AG = \dfrac{l}{2}\\AO = \dfrac{l}{4}\end{array} \right. \Rightarrow OG = \dfrac{l}{4} \Rightarrow {d_1} = OG.cos{30^0} = \dfrac{l}{4}.cos{30^0}\)
Lại có: \(BC = \dfrac{h}{{\sin {{30}^0}}} = 2h \Rightarrow OC = OB - BC = \dfrac{{3l}}{4} - 2h\)
\(\begin{array}{l}CH = \dfrac{{BC}}{2} = h \Rightarrow OH = OC + CH = \dfrac{{3l}}{4} - 2h + h = \dfrac{{3l}}{4} - h\\ \Rightarrow {d_2} = OH.cos{30^0} = \left( {\dfrac{{3l}}{4} - h} \right).cos{30^0}\end{array}\)
Lực đẩy Ác-si-mét tác dụng lên thanh là:
\({F_A} = 10{D_2}.S.BC = 10{D_2}.S.2h\)
Xét điểm tựa tại O, momen các lực tác dụng lên thanh là:
\(\begin{array}{l}{M_P} = P.{d_1} = 10{D_1}Sl.\dfrac{l}{4}.cos{30^0}\\{M_{{F_A}}} = {F_A}.{d_2} = 10{D_2}S.2h.\left( {\dfrac{{3l}}{4} - h} \right).cos{30^0}\end{array}\)
Thanh cân bằng nên:
\(\begin{array}{l}{M_P} = {M_{{F_A}}} \Rightarrow 10{D_1}S\dfrac{{{l^2}}}{4}.cos{30^0} = 10{D_2}S.2h\left( {\dfrac{{3l}}{4} - h} \right).cos{30^0}\\ \Rightarrow {D_1}.\dfrac{{{l^2}}}{4} = {D_2}.2h.\left( {\dfrac{{3l}}{4} - h} \right) \Rightarrow {D_1}{l^2} = {D_2}.2h\left( {3l - 4h} \right)\\ \Rightarrow 1120.0,{4^2} = 1000.2h.\left( {3.0,4 - 4h} \right) \Rightarrow 8000{h^2} - 2400h + 179,2 = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}h = 0,14\,\,\left( m \right)\\h = 0,16\,\,\left( m \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Nhận xét: \(OB = \dfrac{{3l}}{4} \Rightarrow {h_{\max }} = OB\sin {30^0} = \dfrac{{3l}}{8} = 0,15\,\,\left( m \right)\)
\(h \le {h_{\max }} \Rightarrow h \le 0,15\,\,\left( m \right) \Rightarrow h = 0,14\,\,\left( m \right)\)
b) Áp dụng kết quả từ câu a, ta có:
\(\begin{array}{l}{D_1}{l^2} = {D_2}.2h\left( {3l - 4h} \right) \Rightarrow {D_2} = \dfrac{{{D_1}{l^2}}}{{2h\left( {3l - 4h} \right)}}\\ \Rightarrow {D_2} = \dfrac{{1000.0,{4^2}}}{{2h.\left( {3.0,4 - 4h} \right)}} = \dfrac{{160}}{{2h\left( {1,2 - 4h} \right)}} = \dfrac{{20}}{{h.\left( {0,3 - h} \right)}} = \dfrac{{20}}{{0,3h - {h^2}}}\end{array}\)
Xét hàm số \(f = 0,3h - {h^2}\)
\( \Rightarrow f = - \left( {{h^2} - 2.0,15h + 0,{{15}^2}} \right) + 0,{15^2} = - {\left( {h - 0,15} \right)^2} + 0,{15^2}\)
Ta có: \(h \le 0,15 \Rightarrow {\left( {h - 0,15} \right)^2} \ge 0\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow - {\left( {h - 0,15} \right)^2} + 0,{15^2} \le 0,{15^2} \Rightarrow f \le 0,{15^2}\\ \Rightarrow {D_2} \ge \dfrac{{20}}{{0,{{15}^2}}} \Rightarrow {D_2} \ge 889\,\,\left( {kg/{m^3}} \right)\end{array}\)
(Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow h = 0,15\,\,m\))
Đáp án cần chọn là: D
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
