Một thanh đồng chất, tiết diện đều, đặt trên thành của một bình đựng nước, ở đầu

Câu hỏi số 512745:

Vận dụng cao

Một thanh đồng chất, tiết diện đều, đặt trên thành của một bình đựng nước, ở đầu thanh có buộc một quả cầu đồng chất có bán kính R, sao cho quả cầu ngập hoàn toàn trong nước, hệ thống này nằm cân bằng như hình vẽ. Biết trọng lượng riêng của quả cầu và nước là d và \({d_0}\), tỉ số \({l_1}:{l_2} = a:b\).

Tính trọng lượng của thanh đồng chất nói trên. Tìm điều kiện để \({l_1} > {l_2}\).

A. \(\dfrac{{4\pi {R^3}a\left( {d - {d_0}} \right)}}{{3\left( {b - a} \right)}}\); quả cầu nổi trên mặt chất lỏng.

B. \(\dfrac{{8\pi {R^3}a\left( {d - {d_0}} \right)}}{{3\left( {b - a} \right)}}\); quả cầu nổi trên mặt chất lỏng, nối với thanh bằng thanh cứng.

C. \(\dfrac{{8\pi {R^3}a\left( {d - {d_0}} \right)}}{{3\left( {b - a} \right)}}\); quả cầu nổi trên mặt chất lỏng.

D. \(\dfrac{{4\pi {R^3}a\left( {d - {d_0}} \right)}}{{3\left( {b - a} \right)}}\); quả cầu nổi trên mặt chất lỏng, nối với thanh bằng thanh cứng.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:512745

Phương pháp giải

Thể tích khối cầu: \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\)

Trọng lượng: \(P = 10D.V\)

Lực đẩy Ác-si-mét: \({F_A} = 10{D_0}V\)

Momen lực: \(M = F.d\)

Thanh cân bằng khi: \({M_1} = {M_2}\)

Giải chi tiết

Gọi trọng lượng của thanh là \({P_1}\)

Quả cầu chịu tác dụng của hai lực là:

Trọng lượng của quả cầu: \(P = d.V = d.\dfrac{4}{3}\pi {R^3}\)

Lực đẩy Ác-si-mét: \({F_A} = {d_0}.V = {d_0}.\dfrac{4}{3}\pi {R^3}\)

Momen các lực tác dụng lên thanh đối với điểm tựa là:

\(\begin{array}{l}{M_{{P_1}}} = {P_1}.\left( {{l_2} - \dfrac{{{l_1} + {l_2}}}{2}} \right) = {P_1}.\dfrac{{{l_2} - {l_1}}}{2}\\{M_{{F_A}}} = {F_A}.{l_1} = {d_0}.\dfrac{4}{3}\pi {R^3}.{l_1}\\{M_P} = P.{l_1} = d.\dfrac{4}{3}\pi {R^3}.{l_1}\end{array}\)

Thanh cân bằng khi:

\(\begin{array}{l}{M_{{P_1}}} + {M_{{F_A}}} = {M_P} \Rightarrow {P_1}\dfrac{{{l_2} - {l_1}}}{2} + {d_0}.\dfrac{4}{3}\pi {R^3}{l_1} = d.\dfrac{4}{3}\pi {R^3}{l_1}\\ \Rightarrow 3{P_1}\left( {{l_2} - {l_1}} \right) = 8\pi {R^3}{l_1}\left( {d - {d_0}} \right) \Rightarrow {P_1} = \dfrac{{8\pi {R^3}{l_1}\left( {d - {d_0}} \right)}}{{3\left( {{l_2} - {l_1}} \right)}}\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Lại có: \(\dfrac{{{l_1}}}{{{l_2}}} = \dfrac{a}{b} \Rightarrow {l_2} = \dfrac{b}{a}{l_1}\)

Thay vào (1) ta có:

\({P_1} = \dfrac{{8\pi {R^3}{l_1}\left( {d - {d_0}} \right)}}{{3.\left( {\dfrac{b}{a}{l_1} - {l_1}} \right)}} = \dfrac{{8\pi {R^3}{l_1}\left( {d - {d_0}} \right)}}{{3{l_1}\dfrac{{b - a}}{a}}} = \dfrac{{8\pi {R^3}a\left( {d - {d_0}} \right)}}{{3\left( {b - a} \right)}}\)

Để \({l_1} > {l_2} \Rightarrow a > b\)

Mà \({P_1} > 0 \Rightarrow d - {d_0} < 0 \Rightarrow d < {d_0}\)

Vậy điều kiện để \({l_1} > {l_2}\) là quả cầu nổi trên mặt chất lỏng và quả cầu được nối với thanh bằng thanh cứng.

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link