Cho phương trình \({\rm{3cos}}x + {\rm{cos}}2x - {\rm{cos3}}x + 1 = 2\sin x.\sin 2x\). Gọi \(\alpha \) là

Câu hỏi số 512877:

Thông hiểu

Cho phương trình \({\rm{3cos}}x + {\rm{cos}}2x - {\rm{cos3}}x + 1 = 2\sin x.\sin 2x\). Gọi \(\alpha \) là nghiệm lớn nhất thuộc khoảng \(\left( {0;\,2\pi } \right)\) của phương trình. Tính \(\sin \left( {\alpha - \dfrac{\pi }{4}} \right)\).

A. \(1\).

B. \(0\).

C. \( - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

D. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:512877

Phương pháp giải

Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: \(\cos a - \cos b = - 2\sin \left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right).\sin \left( {\dfrac{{a - b}}{2}} \right)\);

Công thức nhân ba: \(cos3x = 4co{s^3}x - 3\cos x\); công thức nhân đôi: \(cos2x = 2co{s^2}x - 1\).

Giải chi tiết

Ta có: \(3\cos x + cos2x - cos3x + 1 = 2\sin \,x.\sin \,2x\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3\cos x + cos2x - cos3x + 1 = cos3x - \cos x\\ \Leftrightarrow 4\cos x - 2cos3x + cos2x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow - 2\left( {4co{s^3}x - 3\cos x} \right) + 2co{s^2}x - 1 + 4\cos x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow - 8co{s^3}x + 2co{s^2}x + 10\cos x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\cos x = - 1\\\cos x = \dfrac{5}{4}\left( L \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = \pi + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

\(0 < \dfrac{\pi }{2} + k\pi < 2\pi \Leftrightarrow 0 < \dfrac{1}{2} + k < 2 \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} < k < \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right\}\)

\(0 < \pi + k2\pi < 2\pi \Leftrightarrow 0 < 1 + 2k < 2 \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} < k < \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow k = 0 \Rightarrow x = \pi \)

Nghiệm lớn nhất của phương trình thuộc khoảng \(\left( {0;2\pi } \right)\) là \(x = \dfrac{{3\pi }}{2}\)

Khi đó: \(\sin \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} - \dfrac{\pi }{4}} \right) = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.