Cho nửa đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB = 2R\). Lấy điểm \(C\) thuộc nửa đường

Câu hỏi số 514803:

Vận dụng

Cho nửa đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB = 2R\). Lấy điểm \(C\) thuộc nửa đường tròn \(\left( O \right)\) sao cho \(CA < CB\). Gọi \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \(OB\), đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(H\) cắt dây \(CB\) và tia \(AC\) lần lượt tại \(D\) và \(E\).

a) Chứng minh rằng bốn điểm \(A,\,\,C,\,\,D,\,\,H\) cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi \(I\) là trung điểm \(DE\). Chứng minh rằng \(IC\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\left( O \right)\).

c) Chứng minh rằng \(AC.AE = 3{R^2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:514803

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp, chứng minh tứ giác \(ACHD\) nội tiếp (vì có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\))

Suy ra \(A,\,\,C,\,\,D,\,\,H\) cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh \(\angle ICD = \angle HDB\) và \(\angle DCO = \angle OBD\) mà \(\angle ICO = \angle ICD + \angle DCO = \angle HDB + OBD = {90^0}\)

nên ta có điều phải chứng minh.

c) Chứng minh \(\Delta AHE \sim \Delta ACB\,\,\,\left( {g.g} \right)\) suy ra \(AC.AE = AB.AH = 2R.AH\)

Giải chi tiết

a) Ta có \(HD \bot AB\) tại \(H\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(\angle DHA = {90^0}\)

Mà C thuộc nửa đường tròn nên \(\angle ACB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \angle DHA + \angle ACB = {180^0}\)\( \Rightarrow ACHD\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AD\) (dhnb).

Vậy \(A,\,\,C,\,\,D,\,\,H\) cùng thuộc một đường tròn. (đpcm)

b) Ta có \(\angle ECD = {90^0}\) (Bù góc \(\angle ACB = {90^0}\)) nên \(\Delta ECD\) là tam giác vuông tại \(C\).

\(DE\) là cạnh huyền của tam giác vuông \(ECD\) và \(I\) là trung điểm của \(DE\) nên \(IC = ID = IE = \frac{1}{2}DE\) (trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền).

\( \Rightarrow \Delta ICD\) cân tại \(I\) \( \Rightarrow \angle ICD = \angle IDC = \angle HDB\) (đối đỉnh) (1)

Mặt khác, \(\Delta OBC\) cân tại \(O\,\,\left( {OB = OC} \right)\) \( \Rightarrow \angle DCO = \angle OBD\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\angle ICO = \angle ICD + \angle DCO = \angle HDB + OBD\)

Mà \(\angle OBD + \angle HDB = {90^0}\) (do tam giác \(HBD\) vuông tại \(H\)) \( \Rightarrow \angle ICO = {90^0}\) hay \(IC \bot OC\).

Vậy \(IC\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\left( O \right)\).

c) Xét tam giác \(\Delta AHE\) và \(\Delta ACB\) ta có:

\(\angle EAB\) chung;

\(\angle ACB = \angle AHE = {90^0}\);

\( \Rightarrow \Delta AHE \sim \Delta ACB\,\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AB}}\) (hai cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow AC.AE = AB.AH = 2R.AH\) (do \(AB = 2R\))

Mặt khác, ta có \(H\) là trung điểm của \(OB\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(HO = \frac{1}{2}OB = \frac{1}{2}R \Rightarrow AH = AO + OH = R + \frac{1}{2}R = \frac{3}{2}R\).

Vậy \(AC.AE = 2R.\frac{3}{2}R = 3{R^2}\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link