Hình chữ nhật MNPQ có 4 đỉnh nằm trên 4 cạnh của hình thoi ABCD (M ∈ AB; N ∈ BC; P ∈ CD; Q ∈ DA). Các cạnh hình chữ nhật song song với các đường chép của hình thoi. Biết AB = 7 cm, tg = 0,75 a. Tính diện tích hình thoi ABCD b. Xác định vị trí của điểm M trên AB sao cho diện tích hình chữ nhật MNPQ lớn nhất và tính giá trị lớn nhất ấy.

Câu hỏi số 51758:

Hình chữ nhật MNPQ có 4 đỉnh nằm trên 4 cạnh của hình thoi ABCD (M ∈ AB; N ∈ BC; P ∈ CD; Q ∈ DA). Các cạnh hình chữ nhật song song với các đường chép của hình thoi. Biết AB = 7 cm, tg $\widehat{BAC}$ = 0,75

a. Tính diện tích hình thoi ABCD

b. Xác định vị trí của điểm M trên AB sao cho diện tích hình chữ nhật MNPQ lớn nhất và tính giá trị lớn nhất ấy.

A. S_ABCD = 47 $\frac{1}{25}$ (cm²), GTNN của S_MNPQ = 23 $\frac{13}{25}$ (cm²) , M là trung điểm của AB

B. S_ABCD = 47 $\frac{1}{25}$ (cm²), GTNN của S_MNPQ = 23 $\frac{441}{25}$ (cm²) , M là trung điểm của AB

C. S_ABCD = 47 $\frac{441}{25}$ (cm²), GTNN của S_MNPQ = 23 $\frac{13}{25}$ (cm²) , M là trung điểm của AB

D. S_ABCD = $\frac{1}{25}$ (cm²), GTNN của S_MNPQ = 23 $\frac{13}{25}$ (cm²) , M là trung điểm của AB

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:51758

Giải chi tiết

a. ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD => ∆OAB vuông tại O, có tg $\widehat{BAO}$ = $\frac{BO}{AO}$ = 0,75 = $\frac{3}{4}$ => $\frac{AO}{4}$ = $\frac{BO}{3}$ => $\frac{AO^{2}}{16}$ = $\frac{BO^{2}}{9}$ = $\frac{AO^{2}+BO^{2}}{16+9}$ = $\frac{AB^{2}}{25}$ = $\frac{7^{2}}{5^{2}}$ => $\frac{AO}{4}$ = $\frac{BO}{3}$ = $\frac{7}{5}$ => AO = $\frac{28}{5}$ ; BO = $\frac{21}{5}$

=> AC = 2AO = $\frac{56}{5}$ ; BD = 2BO = $\frac{42}{5}$

S_ABCD = $\frac{1}{2}$ AC.BD = $\frac{1}{2}$ . $\frac{56}{5}$ . $\frac{42}{5}$ = $\frac{1176}{25}$ = 47 $\frac{1}{25}$ (cm²)

b. ∆BAO có MI // AO (gt) nên $\frac{MI}{AO}$ = $\frac{BI}{BO}$ (1); ∆BOC có IN // OC nên $\frac{BI}{BO}$ = $\frac{IN}{OC}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{MI}{AO}$ = $\frac{IN}{OC}$ mà OA = OC (tính chất hình thoi) nên MI = IN

Chứng minh tương tự ta có KQ = KM. Đặt MN = x; MQ = y thì MI = $\frac{x}{2}$ ; BI = BO - OI = BO - MK = BO - $\frac{y}{2}$ ; ∆OAB có MI // AO nên:

$\frac{MI}{AO}$ = $\frac{BI}{BO}$ => $\frac{\frac{x}{2}}{\frac{28}{5}}$ = $\frac{\frac{21}{5}-\frac{y}{2}}{\frac{21}{5}}$ ⇔ $\frac{x}{2}$ . $\frac{5}{28}$ = $\frac{42-5y}{10}$ . $\frac{5}{21}$ ⇔ x = $\frac{42-5y}{10}$ . $\frac{5}{21}$ . $\frac{28}{2}$ .2 = $\frac{4(42-5y)}{15}$

S_MNPQ = x.y = $\frac{4(42-5y)}{15}$ .y = $\frac{20}{15}$ ( $\frac{42y}{5}$ - y²)

= $\frac{4}{3}$ [-y² + 2. $\frac{21}{5}$ y - $\left ( \frac{21}{5} \right )^{2}$ + $\left ( \frac{21}{5} \right )^{2}$ ] = $\frac{4}{3}$ [- $\left ( y-\frac{21}{5} \right )^{2}$ + $\left ( \frac{21}{5} \right )^{2}$ ]

= - $\frac{4}{3}$ $\left ( y-\frac{21}{5} \right )^{2}$ + $\frac{4}{3}$ . $\left ( \frac{21}{5} \right )^{2}$ ≤ $\frac{4}{3}$ . $\frac{441}{25}$ = 23 $\frac{13}{25}$

Vậy GTNN của S_MNPQ = 23 $\frac{13}{25}$ (cm²) khi và chỉ khi y = $\frac{21}{5}$ = MQ

Vì MQ // BD nên $\frac{MQ}{BD}$ = $\frac{AM}{AB}$ => $\frac{21}{5}$ : $\frac{42}{5}$ = AM : AB => AM : AB = $\frac{1}{2}$

Vậy M là trung điểm của AB

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link