Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} + 5x = 2xy + 2\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu

Câu hỏi số 518613:

Vận dụng cao

Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} + 5x = 2xy + 2\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(B = 3x + 2y\).

A. \({B_{\max }} = 3\) khi \(x = y = \frac{1}{5}\)

B. \({B_{\max }} = 3\) khi \(x = y = \frac{6}{5}\)

C. \({B_{\max }} = 3\) khi \(x = \frac{6}{5};y = \frac{1}{5}\)

D. \({B_{\max }} = 3\) khi \(x = \frac{1}{5};y = \frac{6}{5}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:518613

Phương pháp giải

Vận dụng các hằng đẳng thức được học, biến đổi phương trình về dạng \(B = 3 - {\left( {x - y + 1} \right)^2}\)

Lập luận chỉ ra \(B \le 3\).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,{x^2} + {y^2} + 5x = 2xy + 2\\ \Leftrightarrow 3x + 2y + {x^2} + {y^2} + 2x - 2xy - 2y + 1 = 3\\ \Leftrightarrow \left( {3x + 2y} \right) + \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + 2\left( {x - y} \right) + 1 = 3\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {3x + 2y} \right) + {\left( {x - y} \right)^2} + 2\left( {x - y} \right) + 1 = 3\\ \Leftrightarrow \left( {3x + 2y} \right) + {\left( {x - y + 1} \right)^2} = 3\\ \Leftrightarrow B + {\left( {x - y + 1} \right)^2} = 3\\ \Leftrightarrow B = 3 - {\left( {x - y + 1} \right)^2}\end{array}\)

Ta có: \({\left( {x - y + 1} \right)^2} \ge 0,\forall x,y \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow - {\left( {x - y + 1} \right)^2} \le 0,\forall x,y \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow 3 - {\left( {x - y + 1} \right)^2} \le 3,\forall x,y \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow B \le 3\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\\3x + 2y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y - 1\\3\left( {y - 1} \right) + 2y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y - 1\\5y - 3 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{5}\\y = \frac{6}{5}\end{array} \right.\)

Vậy \({B_{\max }} = 3\) khi \(x = \frac{1}{5};y = \frac{6}{5}\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link