Cho hình vuông \(ABCD\) và điểm \(P\) nằm trong tam giác \(ABC\) sao cho \(\angle BPC = {135^0}\). Chứng
Cho hình vuông \(ABCD\) và điểm \(P\) nằm trong tam giác \(ABC\) sao cho \(\angle BPC = {135^0}\). Chứng minh rằng:\(2P{B^2} + P{C^2} = P{A^2}\).
Quảng cáo
Lấy điểm \(P'\) khác phía với điểm \(P\) đối với đường thẳng \(AB\) sao cho \(\Delta BPP'\) vuông cân tại \(B\).
Chứng minh \(\Delta ABP' = \Delta CBP\left( {c.g.c} \right)\)\( \Rightarrow \angle AP'P = {90^0}\) nên \(\Delta APP'\) vuông tại \(P'\)
Áp dụng định lí Py – ta – go chứng minh được \(A{P^2} = C{P^2} + 2B{P^2}\)
Lấy điểm \(P'\) khác phía với điểm \(P\) đối với đường thẳng \(AB\) sao cho \(\Delta BPP'\) vuông cân tại \(B\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle PBP' = {90^0}\\ \Rightarrow \angle ABP' + \angle ABP = {90^0}\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
\(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow \angle ABC = {90^0}\)\( \Rightarrow \angle CBP + \angle ABP = {90^0}\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2), suy ra \(\angle ABP' = \angle CBP\)
Xét \(\Delta ABP'\) và \(\Delta CBP\) có:
\(\angle ABP' = \angle CBP\) (cmt)
\(BP = BP'\) (vì \(\Delta BPP'\) vuông cân tại \(B\))
\(AB = BC\) (vì \(ABCD\) là hình vuông)
\( \Rightarrow \Delta ABP' = \Delta CBP\left( {c.g.c} \right)\)
\( \Rightarrow \angle AP'B = \angle BPC = {135^0}\) (hai góc tương ứng) và \(AP' = CP\) (hai cạnh tương ứng)
Ta có: \(\angle AP'B = \angle AP'P + \angle PP'B = {135^0}\) mà \(\angle PP'B = {45^0}\) (vì \(\Delta BPP'\) vuông cân tại \(B\))
Suy ra, \(\angle AP'P = {135^0} - {45^0} = {90^0}\) nên \(\Delta APP'\) vuông tại \(P'\)
Áp dụng định lí Py – ta – go, ta có: \(A{P^2} = A{P'^2} + P{P'^2}\)
Mà \(AP' = CP\)(cmt); \(PP' = BP.\sqrt 2 \) (vì \(\Delta BPP'\) vuông cân tại \(B\))
Do đó, \(A{P^2} = C{P^2} + {\left( {BP.\sqrt 2 } \right)^2} = C{P^2} + 2B{P^2}\) (đpcm)
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
