Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), gọi \(M\) là trung điểm đoạn thẳng \(BC.\) Từ \(M\) kẻ \(MD\)

Câu hỏi số 519185:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), gọi \(M\) là trung điểm đoạn thẳng \(BC.\) Từ \(M\) kẻ \(MD\) vuông góc với \(AB\) tại \(D,ME\) vuông góc với \(AC\) tại \(E.\)

a) Chứng minh tứ giác \(ADME\) là hình chữ nhật.

b) Gọi \(N\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(E,O\) là giao điểm của \(AM\) và \(DE.\) Chứng minh ba điểm \(B,O,N\) thẳng hàng.

c) Tam giác \(ABC\) cần thêm điều kiện gì để tứ giác \(ABCN\) là hình thang cân.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:519185

Phương pháp giải

a) Vận dụng định nghĩa của hình chữ nhật

b) Chứng minh \(ABMN\) là hình bình hành, suy ra \(O\) là trung điểm của \(BN \Rightarrow B,O,N\) thẳng hàng.

c) Chứng minh \(AMCN\) là hình thoi

Chứng minh \(ABCN\) là hình thang

Biện luận và chỉ ra \(\angle ABC = {60^0}\).

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\Delta ABC\) vuông tại \(A \Rightarrow \angle BAC = {90^0} \Rightarrow \angle DAE = {90^0}\)

\(MD \bot AB\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle MDA = {90^0}\)

\(ME \bot AC\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle AEM = {90^0}\)

Tứ giác \(ADME\) có: \(\angle DAE = \angle MDA = \angle AEM = {90^0}\) nên \(ADME\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

b) Hình chữ nhật \(ADME\) có \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AM,DE \Rightarrow O\) là trung điểm của \(AM\)

Vì \(N\) đối xứng với \(M\) qua \(E\) nên \(E\) là trung điểm của \(MN\), suy ra \(MN = 2ME\)

Vì \(AM\) là đường trung tuyến của tam giác vuông \(ABC\) nên \(AM = MB\) (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) \( \Rightarrow \Delta AMB\) cân tại \(M\) nên đường cao \(MD\) đồng thời là đường trung tuyến, suy ra \(D\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow AB = 2AD\)

Mà \(AD = ME\) (hai cạnh đối của hình chữ nhật \(ADME\)), suy ra \(AB = MN\).

\(ADME\) là hình chữ nhật (cmt) \(AD//MN \Rightarrow AB//MN\)

Tứ giác \(ABMN\) có: \(AB = MN;AB = MN\) nên \(ABMN\) là hình bình hành

\( \Rightarrow \)Hai đường chéo \(AM,BN\) giao nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà \(O\) là trung điểm của \(AM\) nên \(O\) cũng là trung điểm của \(BN\)

\( \Rightarrow B,O,N\) thẳng hàng

c) Theo b), tứ giác \(ABMN\) là hình bình hành \(AN//BM\) và \(AN = BM\)

\( \Rightarrow AN//MC\) và \(AN = MC\) suy ra tứ giác \(AMCN\) là hình bình hành

Hình bình hành \(AMCN\) có \(MN \bot AC\) nên \(AMCN\) là hình thoi

\( \Rightarrow CA\) là tia phân giác của \(\angle NCM \Rightarrow \angle NCB = 2\angle ACB\)

Vì \(AN//BC \Rightarrow ABCN\) là hình thang

Hình thang \(ABCN\) là hình thang cân

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \angle ABC = \angle NCB\\ \Leftrightarrow \angle ABC = 2\angle ACB\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \angle ABC = {60^0}\) (vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\))

Vậy khi tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và có \(\angle ABC = {60^0}\) thì tứ giác \(ABCN\) là hình thang cân.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link