Chứng minh rằng với mọi \(n \in \mathbb{N}\) thì \(\left( {{n^3} + 3{n^2} - 4n} \right) \vdots

Câu hỏi số 519186:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng với mọi \(n \in \mathbb{N}\) thì \(\left( {{n^3} + 3{n^2} - 4n} \right) \vdots 6\).

\(\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:519186

Phương pháp giải

Vận dụng tính chất chia hết của các số tự nhiên.

Giải chi tiết

Ta có: \(\left( {{n^3} + 3{n^2} - 4n} \right) = n\left( {{n^2} + 3n + 4} \right) = \left( {n - 1} \right)n\left( {n + 4} \right) \vdots 2\,\,\left( 1 \right)\)

Mặt khác, \(\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 4} \right)\)

\(\begin{array}{l} = \left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1 + 3} \right)\\ = \left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right) + 3\left( {n - 1} \right)n\end{array}\)

Ta có: \(n - 1;n;n + 1\) là ba số tự nhiên liên tiếp nên \(\left( {n - 1} \right)n\left( {n - 1} \right) \vdots 3\)

Lại có: \(3\left( {n - 1} \right)n \vdots 3\)

Suy ra \(\left[ {\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right) + 3\left( {n - 1} \right)n} \right] \vdots 3\) hay \(\left( {{n^3} + 3{n^2} - 4n} \right) \vdots 3\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1); (2) và ƯCLN\(\left( {2;3} \right) = 1\), suy ra \(\left( {{n^3} + 3{n^2} - 4n} \right) \vdots 6\) với mọi \(n \in \mathbb{N}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link