Cho phương trình \({x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - 3m + 1 = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm tất cả

Câu hỏi số 521361:

Thông hiểu

Cho phương trình \({x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - 3m + 1 = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nhiệm \({x_1}\), \({x_2}\) sao cho biểu thức \(P = {x_1}\left( {{x_2} + 2} \right) + {x_2}\left( {{x_1} + 2} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:521361

Phương pháp giải

Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt \(\Delta > 0\)

Sử dụng hệ thức Vi-ét: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)

Giải chi tiết

Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 3m + 1} \right) = 4{m^2} - 4m + 1 - 4{m^2} + 12m - 4 = 8m - 3 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{3}{8}\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a} = 2m - 1\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = {m^2} - 3m + 1\end{array} \right.\)

Ta có: \(P = {x_1}\left( {{x_2} + 2} \right) + {x_2}\left( {{x_1} + 2} \right) = {x_1}{x_2} + 2{x_1} + {x_1}{x_2} + 2{x_2} = 2{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)

\(\begin{array}{l} = 2\left( {{m^2} - 3m + 1} \right) + 2\left( {2m - 1} \right) = 2{m^2} - 6m + 2 + 4m - 2\\ = 2{m^2} - 2m = 2\left( {{m^2} - m} \right) = 2\left( {{m^2} - 2.\dfrac{1}{2}m + \dfrac{1}{4}} \right) - \dfrac{1}{2} = 2{\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{1}{2} \ge - \dfrac{1}{2}\end{array}\)

Do đó P đạt giá trị nhỏ nhất là \( - \dfrac{1}{2}\).

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow m - \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\) (TMĐK)

Vậy \(m = \dfrac{1}{2}\) là giá trị cần tìm.

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.