Cho phương trình \({x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - 3m + 1 = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm tất cả

Câu hỏi số 521361:

Thông hiểu

Cho phương trình \({x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - 3m + 1 = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nhiệm \({x_1}\), \({x_2}\) sao cho biểu thức \(P = {x_1}\left( {{x_2} + 2} \right) + {x_2}\left( {{x_1} + 2} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:521361

Phương pháp giải

Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt \(\Delta > 0\)

Sử dụng hệ thức Vi-ét: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)

Giải chi tiết

Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 3m + 1} \right) = 4{m^2} - 4m + 1 - 4{m^2} + 12m - 4 = 8m - 3 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{3}{8}\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a} = 2m - 1\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = {m^2} - 3m + 1\end{array} \right.\)

Ta có: \(P = {x_1}\left( {{x_2} + 2} \right) + {x_2}\left( {{x_1} + 2} \right) = {x_1}{x_2} + 2{x_1} + {x_1}{x_2} + 2{x_2} = 2{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)

\(\begin{array}{l} = 2\left( {{m^2} - 3m + 1} \right) + 2\left( {2m - 1} \right) = 2{m^2} - 6m + 2 + 4m - 2\\ = 2{m^2} - 2m = 2\left( {{m^2} - m} \right) = 2\left( {{m^2} - 2.\dfrac{1}{2}m + \dfrac{1}{4}} \right) - \dfrac{1}{2} = 2{\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{1}{2} \ge - \dfrac{1}{2}\end{array}\)

Do đó P đạt giá trị nhỏ nhất là \( - \dfrac{1}{2}\).

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow m - \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\) (TMĐK)

Vậy \(m = \dfrac{1}{2}\) là giá trị cần tìm.

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.