Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 = 0\) (Với \(m\) là tham số). Chứng minh rằng

Câu hỏi số 524785:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 = 0\) (Với \(m\) là tham số). Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\) với mọi \(m\). Tìm các giá trị của tham số \(m\) sao cho: \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 4\).

A. \(m = 0\)

B. \(m = 2\)

C. \(m \in \left\{ {0;3} \right\}\)

D. \(m \in \left\{ {2;3} \right\}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:524785

Phương pháp giải

Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m\) \( \Leftrightarrow \Delta > 0,\,\forall m\)

Theo hệ thức Vi – ét, tính được \({x_1}{x_2}\,;\,{x_1} + {x_2}\) theo \(m\)

Biến đổi hệ thức của đề bài để xuất hiện \({x_1}{x_2}\,;\,{x_1} + {x_2}\), thay vào và giải phương trình chứa \(m\)

Giải chi tiết

Ta có: \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 = 0\) (1)

Phương trình (1) có: \(\Delta ' = {(m - 1)^2} - m + 3 = {m^2} - 3m + 4 = {\left( {m - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} > 0\,\,\,\forall m\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m\).

Khi đó theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 2m - 2}\\{{x_1}.{x_2} = m - 3}\end{array}} \right.\)

Theo giả thiết ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 4\\ \Leftrightarrow {x_1}^2 - 2{x_1}{x_2} + {x_2} = 16\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 16\\ \Rightarrow {\left( {2m - 2} \right)^2} - 4.\left( {m - 3} \right) = 16\\ \Rightarrow 4{m^2} - 8m + 4 - 4m + 12 = 16\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 12m = 0\\ \Leftrightarrow 4m\left( {m - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 3\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy có 2 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(m \in \left\{ {0;3} \right\}\).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link