Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và hai đường
Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và hai đường cao \(AE,BF\) cắt nhau tại \(H\)(\(E \in BC,F \in AC\)).
a) Chứng minh rằng bốn điểm \(A,B,E,F\) cùng nằm trên một đường tròn
b) Chứng minh rằng \(OC \bot EF\)
Quảng cáo
a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp: Tứ giác có 2 đỉnh kề một cạnh cùng nhìn cạnh đối diện các góc bằng nhau nên \(ABEF\) nội tiếp một đường tròn từ đó ta có điều phải chứng minh.
b) Chứng minh \(\angle ACO = \angle CAO = {90^0} - \dfrac{1}{2}\angle AOC\,\,\,\left( 1 \right)\)
Mà \(\angle AOC = 2\angle ABC\) (2)
\(\angle ABC = \angle DFC\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra được \(\angle FDC = {90^0}\) nên \(OC \bot EF\)
a) Ta có: \(AE,BF\) là đường cao của tam giác \(ABC\) nên \(AE \bot BC,\,\,BF \bot AC\).
\( \Rightarrow \angle AEB = \angle AFB = {90^0}\).
\( \Rightarrow ABEF\) nội tiếp một đường tròn (tứ giác có 2 đỉnh kề một cạnh cùng nhìn cạnh đối diện các góc bằng nhau)
b) Gọi \(D\) là giao điểm của \(OC\) và \(EF\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle ACO + \angle CAO = {180^0} - \angle AOC\\\angle ACO = \angle CAO\end{array} \right.\) (do tam giác \(OAC\) cân tại \(O\)).
\( \Rightarrow \angle ACO = \angle CAO = {90^0} - \dfrac{1}{2}\angle AOC\,\,\,\left( 1 \right)\)
Mà \(\angle AOC = 2\angle ABC\) (2) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung \(AC\)).
\(\angle ABC = \angle DFC\) (3) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp \(ABEF\)).
Từ (1), (2), (3) ta được:
\(\begin{array}{l}\angle ACO = {90^0} - \angle ABC = {90^0} - \angle DFC \Rightarrow \angle ACO + \angle DFC = {90^0}\\ \Rightarrow \angle FDC = {90^0}\end{array}\)
Vậy \(OC \bot EF\) (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
