Cho số thực \(m\,\, = \,\,{\log _a}\sqrt {ab} \,;\,\,a,b > \,\,1;\,P = \,{({\log _a}b)^2}\, + \,54{\log _b}a\).

Câu hỏi số 527141:

Vận dụng

Cho số thực \(m\,\, = \,\,{\log _a}\sqrt {ab} \,;\,\,a,b > \,\,1;\,P = \,{({\log _a}b)^2}\, + \,54{\log _b}a\). Tìm giá trị \(m\) để biểu thức \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất

A. \(m = 4.\)

B. \(m = 5.\)

C. \(m = 2.\)

D. \(m = 3.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:527141

Phương pháp giải

Khai thác từ giả thiết, biến đổi biểu thức \(P\) theo m.

Khảo sát hàm số \(P(m)\), tìm giá trị \(m\) để giá trị biểu thức \(P\) min.

Giải chi tiết

Ta có: \(m\,\, = \,\,{\log _a}\sqrt {ab} \, = \,\,\dfrac{1}{2}{\log _a}(ab) = \,\dfrac{1}{2}(1 + {\log _a}b) \Rightarrow {\log _a}b = \,\,2m - 1\)

Khi đó:

\(\,P = \,{({\log _a}b)^2}\, + \,54{\log _b}a\, = \,{({\log _a}b)^2}\, + \,\dfrac{{54}}{{{{\log }_a}b}} = \,{(2m - 1)^2}\, + \,\,\dfrac{{54}}{{2m - 1}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}P'(m) = \,2(2m - 1).2\,\, - \,\dfrac{{108}}{{{{(2m - 1)}^2}}}\\ = \,\dfrac{{4{{(2m - 1)}^3} - 108}}{{{{(2m - 1)}^2}}}\\P'(m) = 0\,\, \Leftrightarrow 4{(2m - 1)^3} - 108 = 0\, \Leftrightarrow {(2m - 1)^3} = 27\\ \Leftrightarrow 2m - 1 = \,3 \Leftrightarrow m\, = 2\end{array}\)

Suy ra để biểu thức \(P\)đạt giá trị nhỏ nhất thì \(m = 2\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.