Cho số thực \(m\,\, = \,\,{\log _a}\sqrt {ab} \,;\,\,a,b > \,\,1;\,P = \,{({\log _a}b)^2}\, + \,54{\log _b}a\).

Câu hỏi số 527141:

Vận dụng

Cho số thực \(m\,\, = \,\,{\log _a}\sqrt {ab} \,;\,\,a,b > \,\,1;\,P = \,{({\log _a}b)^2}\, + \,54{\log _b}a\). Tìm giá trị \(m\) để biểu thức \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất

A. \(m = 4.\)

B. \(m = 5.\)

C. \(m = 2.\)

D. \(m = 3.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:527141

Phương pháp giải

Khai thác từ giả thiết, biến đổi biểu thức \(P\) theo m.

Khảo sát hàm số \(P(m)\), tìm giá trị \(m\) để giá trị biểu thức \(P\) min.

Giải chi tiết

Ta có: \(m\,\, = \,\,{\log _a}\sqrt {ab} \, = \,\,\dfrac{1}{2}{\log _a}(ab) = \,\dfrac{1}{2}(1 + {\log _a}b) \Rightarrow {\log _a}b = \,\,2m - 1\)

Khi đó:

\(\,P = \,{({\log _a}b)^2}\, + \,54{\log _b}a\, = \,{({\log _a}b)^2}\, + \,\dfrac{{54}}{{{{\log }_a}b}} = \,{(2m - 1)^2}\, + \,\,\dfrac{{54}}{{2m - 1}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}P'(m) = \,2(2m - 1).2\,\, - \,\dfrac{{108}}{{{{(2m - 1)}^2}}}\\ = \,\dfrac{{4{{(2m - 1)}^3} - 108}}{{{{(2m - 1)}^2}}}\\P'(m) = 0\,\, \Leftrightarrow 4{(2m - 1)^3} - 108 = 0\, \Leftrightarrow {(2m - 1)^3} = 27\\ \Leftrightarrow 2m - 1 = \,3 \Leftrightarrow m\, = 2\end{array}\)

Suy ra để biểu thức \(P\)đạt giá trị nhỏ nhất thì \(m = 2\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.