Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a,\) điểm \(M\) là trung điểm cạnh

Câu hỏi số 528178:

Vận dụng

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a,\) điểm \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\) và \(I\) là tâm hình vuông \(CDD'C'.\) Mặt phẳng \(\left( {AMI} \right)\) chia khối lập phương thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện không chứa điểm \(D\) có thể tích là \(V.\) Khi đó giá trị của \(V\) là

A. \(V = \dfrac{7}{{29}}{a^3}\)

B. \(V = \dfrac{{22}}{{29}}{a^3}\)

C. \(V = \dfrac{7}{{36}}{a^3}\)

D. \(V = \dfrac{{29}}{{36}}{a^3}\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:528178

Phương pháp giải

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right),\) lấy \(K\) là giao điểm của \(AM\) và \(CD\).

Nối \(K\) với \(I\) cắt \(DD'\) tại \(H\)và cắt \(CC'\) tại \(N\).

Xác định thiết diện của mặt phẳng \(\left( {AMI} \right)\) với khối lập phương là \(AMNH\)

Thể tích của khối đa diện không chứa điểm \(D\) là \(V = {V_{hlp}} - {V_{AMCDH}} = {V_{hlp}} - \left( {{V_{K.ADH}} - {V_{K.MNC}}} \right)\)

Giải chi tiết

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right),\) lấy \(K\) là giao điểm của \(AM\) và \(CD\).

Nối \(K\) với \(I\) cắt \(DD'\) tại \(H\). Gọi \(N\) là giao điểm của \(KI\)và \(CC'\). Nối \(A\) với \(H\)

Khi đó thiết diện là \(AHNM\)

Ta có: \(D'H = NC\)

Áp dụng định lí Ta-lét trong tam giác \(KHD\) ta có: \(\dfrac{{NC}}{{HD}} = \dfrac{{KC}}{{KD}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow NC = \dfrac{1}{2}HD\)

Khi đó \(HD = \dfrac{2}{3}a;\,HD' = NC = \dfrac{1}{3}a\)

Xét hình chóp \(K.ADH\) có \(KD\) vuông góc với đáy

\( \Rightarrow {V_{K.ADH}} = \dfrac{1}{3}.KD.{S_{ADH}} = \dfrac{1}{3}.2a.\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}{a^2} = \dfrac{2}{9}{a^3}\)

Xét hình chóp \(K.MNC\) có \(KC\) vuông góc với đáy

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{K.MNC}} = \dfrac{1}{3}KC.{S_{MNC}} = \dfrac{1}{3}.a.{S_{MNC}} = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{{36}}{a^3}\\ \Rightarrow V = {a^3} - \left( {\dfrac{2}{9}{a^3} - \dfrac{1}{{36}}{a^3}} \right) = \dfrac{{29}}{{36}}{a^3}\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.