Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a,$ điểm $M$ là trung điểm cạnh

Câu hỏi số 528178:

Vận dụng

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a,$ điểm $M$ là trung điểm cạnh $BC$ và $I$ là tâm hình vuông $CDD'C'.$ Mặt phẳng $\left( {AMI} \right)$ chia khối lập phương thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện không chứa điểm $D$ có thể tích là $V.$ Khi đó giá trị của $V$ là

$V = \dfrac{7}{{29}}{a^3}$

$V = \dfrac{{22}}{{29}}{a^3}$

$V = \dfrac{7}{{36}}{a^3}$

$V = \dfrac{{29}}{{36}}{a^3}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:528178

Phương pháp giải

Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right),$ lấy $K$ là giao điểm của $AM$ và $CD$ .

Nối $K$ với $I$ cắt $DD'$ tại $H$ và cắt $CC'$ tại $N$ .

Xác định thiết diện của mặt phẳng $\left( {AMI} \right)$ với khối lập phương là $AMNH$

Thể tích của khối đa diện không chứa điểm $D$ là $V = {V_{hlp}} - {V_{AMCDH}} = {V_{hlp}} - \left( {{V_{K.ADH}} - {V_{K.MNC}}} \right)$

Giải chi tiết

Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right),$ lấy $K$ là giao điểm của $AM$ và $CD$ .

Nối $K$ với $I$ cắt $DD'$ tại $H$ . Gọi $N$ là giao điểm của $KI$ và $CC'$ . Nối $A$ với $H$

Khi đó thiết diện là $AHNM$

Ta có: $D'H = NC$

Áp dụng định lí Ta-lét trong tam giác $KHD$ ta có: $\dfrac{{NC}}{{HD}} = \dfrac{{KC}}{{KD}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow NC = \dfrac{1}{2}HD$

Khi đó $HD = \dfrac{2}{3}a;\,HD' = NC = \dfrac{1}{3}a$

Xét hình chóp $K.ADH$ có $KD$ vuông góc với đáy

$\Rightarrow {V_{K.ADH}} = \dfrac{1}{3}.KD.{S_{ADH}} = \dfrac{1}{3}.2a.\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}{a^2} = \dfrac{2}{9}{a^3}$

Xét hình chóp $K.MNC$ có $KC$ vuông góc với đáy

$\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{K.MNC}} = \dfrac{1}{3}KC.{S_{MNC}} = \dfrac{1}{3}.a.{S_{MNC}} = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{{36}}{a^3}\\ \Rightarrow V = {a^3} - \left( {\dfrac{2}{9}{a^3} - \dfrac{1}{{36}}{a^3}} \right) = \dfrac{{29}}{{36}}{a^3}\end{array}$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.