Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a,\) điểm \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\) và \(I\) là tâm hình vuông \(CDD'C'.\) Mặt phẳng \(\left( {AMI} \right)\) chia khối lập phương thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện không chứa điểm \(D\) có thể tích là \(V.\) Khi đó giá trị của \(V\) là
Câu 528178: Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a,\) điểm \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\) và \(I\) là tâm hình vuông \(CDD'C'.\) Mặt phẳng \(\left( {AMI} \right)\) chia khối lập phương thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện không chứa điểm \(D\) có thể tích là \(V.\) Khi đó giá trị của \(V\) là
A. \(V = \dfrac{7}{{29}}{a^3}\)
B. \(V = \dfrac{{22}}{{29}}{a^3}\)
C. \(V = \dfrac{7}{{36}}{a^3}\)
D. \(V = \dfrac{{29}}{{36}}{a^3}\)
Quảng cáo
Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right),\) lấy \(K\) là giao điểm của \(AM\) và \(CD\).
Nối \(K\) với \(I\) cắt \(DD'\) tại \(H\)và cắt \(CC'\) tại \(N\).
Xác định thiết diện của mặt phẳng \(\left( {AMI} \right)\) với khối lập phương là \(AMNH\)
Thể tích của khối đa diện không chứa điểm \(D\) là \(V = {V_{hlp}} - {V_{AMCDH}} = {V_{hlp}} - \left( {{V_{K.ADH}} - {V_{K.MNC}}} \right)\)
-
Đáp án : D(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right),\) lấy \(K\) là giao điểm của \(AM\) và \(CD\).
Nối \(K\) với \(I\) cắt \(DD'\) tại \(H\). Gọi \(N\) là giao điểm của \(KI\)và \(CC'\). Nối \(A\) với \(H\)
Khi đó thiết diện là \(AHNM\)
Ta có: \(D'H = NC\)
Áp dụng định lí Ta-lét trong tam giác \(KHD\) ta có: \(\dfrac{{NC}}{{HD}} = \dfrac{{KC}}{{KD}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow NC = \dfrac{1}{2}HD\)
Khi đó \(HD = \dfrac{2}{3}a;\,HD' = NC = \dfrac{1}{3}a\)
Xét hình chóp \(K.ADH\) có \(KD\) vuông góc với đáy
\( \Rightarrow {V_{K.ADH}} = \dfrac{1}{3}.KD.{S_{ADH}} = \dfrac{1}{3}.2a.\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}{a^2} = \dfrac{2}{9}{a^3}\)
Xét hình chóp \(K.MNC\) có \(KC\) vuông góc với đáy
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{K.MNC}} = \dfrac{1}{3}KC.{S_{MNC}} = \dfrac{1}{3}.a.{S_{MNC}} = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{{36}}{a^3}\\ \Rightarrow V = {a^3} - \left( {\dfrac{2}{9}{a^3} - \dfrac{1}{{36}}{a^3}} \right) = \dfrac{{29}}{{36}}{a^3}\end{array}\)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
