Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a,\) điểm \(M\) là trung điểm cạnh
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a,\) điểm \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\) và \(I\) là tâm hình vuông \(CDD'C'.\) Mặt phẳng \(\left( {AMI} \right)\) chia khối lập phương thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện không chứa điểm \(D\) có thể tích là \(V.\) Khi đó giá trị của \(V\) là
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right),\) lấy \(K\) là giao điểm của \(AM\) và \(CD\).
Nối \(K\) với \(I\) cắt \(DD'\) tại \(H\)và cắt \(CC'\) tại \(N\).
Xác định thiết diện của mặt phẳng \(\left( {AMI} \right)\) với khối lập phương là \(AMNH\)
Thể tích của khối đa diện không chứa điểm \(D\) là \(V = {V_{hlp}} - {V_{AMCDH}} = {V_{hlp}} - \left( {{V_{K.ADH}} - {V_{K.MNC}}} \right)\)
Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right),\) lấy \(K\) là giao điểm của \(AM\) và \(CD\).
Nối \(K\) với \(I\) cắt \(DD'\) tại \(H\). Gọi \(N\) là giao điểm của \(KI\)và \(CC'\). Nối \(A\) với \(H\)
Khi đó thiết diện là \(AHNM\)
Ta có: \(D'H = NC\)
Áp dụng định lí Ta-lét trong tam giác \(KHD\) ta có: \(\dfrac{{NC}}{{HD}} = \dfrac{{KC}}{{KD}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow NC = \dfrac{1}{2}HD\)
Khi đó \(HD = \dfrac{2}{3}a;\,HD' = NC = \dfrac{1}{3}a\)
Xét hình chóp \(K.ADH\) có \(KD\) vuông góc với đáy
\( \Rightarrow {V_{K.ADH}} = \dfrac{1}{3}.KD.{S_{ADH}} = \dfrac{1}{3}.2a.\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}{a^2} = \dfrac{2}{9}{a^3}\)
Xét hình chóp \(K.MNC\) có \(KC\) vuông góc với đáy
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{K.MNC}} = \dfrac{1}{3}KC.{S_{MNC}} = \dfrac{1}{3}.a.{S_{MNC}} = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{{36}}{a^3}\\ \Rightarrow V = {a^3} - \left( {\dfrac{2}{9}{a^3} - \dfrac{1}{{36}}{a^3}} \right) = \dfrac{{29}}{{36}}{a^3}\end{array}\)
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
