Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a,\) điểm \(M\) là trung điểm cạnh

Câu hỏi số 528178:

Vận dụng

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a,\) điểm \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\) và \(I\) là tâm hình vuông \(CDD'C'.\) Mặt phẳng \(\left( {AMI} \right)\) chia khối lập phương thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện không chứa điểm \(D\) có thể tích là \(V.\) Khi đó giá trị của \(V\) là

A. \(V = \dfrac{7}{{29}}{a^3}\)

B. \(V = \dfrac{{22}}{{29}}{a^3}\)

C. \(V = \dfrac{7}{{36}}{a^3}\)

D. \(V = \dfrac{{29}}{{36}}{a^3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:528178

Phương pháp giải

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right),\) lấy \(K\) là giao điểm của \(AM\) và \(CD\).

Nối \(K\) với \(I\) cắt \(DD'\) tại \(H\)và cắt \(CC'\) tại \(N\).

Xác định thiết diện của mặt phẳng \(\left( {AMI} \right)\) với khối lập phương là \(AMNH\)

Thể tích của khối đa diện không chứa điểm \(D\) là \(V = {V_{hlp}} - {V_{AMCDH}} = {V_{hlp}} - \left( {{V_{K.ADH}} - {V_{K.MNC}}} \right)\)

Giải chi tiết

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right),\) lấy \(K\) là giao điểm của \(AM\) và \(CD\).

Nối \(K\) với \(I\) cắt \(DD'\) tại \(H\). Gọi \(N\) là giao điểm của \(KI\)và \(CC'\). Nối \(A\) với \(H\)

Khi đó thiết diện là \(AHNM\)

Ta có: \(D'H = NC\)

Áp dụng định lí Ta-lét trong tam giác \(KHD\) ta có: \(\dfrac{{NC}}{{HD}} = \dfrac{{KC}}{{KD}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow NC = \dfrac{1}{2}HD\)

Khi đó \(HD = \dfrac{2}{3}a;\,HD' = NC = \dfrac{1}{3}a\)

Xét hình chóp \(K.ADH\) có \(KD\) vuông góc với đáy

\( \Rightarrow {V_{K.ADH}} = \dfrac{1}{3}.KD.{S_{ADH}} = \dfrac{1}{3}.2a.\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}{a^2} = \dfrac{2}{9}{a^3}\)

Xét hình chóp \(K.MNC\) có \(KC\) vuông góc với đáy

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{K.MNC}} = \dfrac{1}{3}KC.{S_{MNC}} = \dfrac{1}{3}.a.{S_{MNC}} = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{{36}}{a^3}\\ \Rightarrow V = {a^3} - \left( {\dfrac{2}{9}{a^3} - \dfrac{1}{{36}}{a^3}} \right) = \dfrac{{29}}{{36}}{a^3}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.