Cho hàm số $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ thỏa mãn $a > 0,\,d > 2021,\,a + b + c + d - 2021 < 0$ .

Câu hỏi số 528184:

Vận dụng cao

Cho hàm số $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ thỏa mãn $a > 0,\,d > 2021,\,a + b + c + d - 2021 < 0$ . Số điểm cực trị của hàm số $y = \left| {f\left( x \right) - 2021} \right|$ là

$4$

$2$

$5$

$6$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:528184

Phương pháp giải

Đặt $g\left( x \right) = f\left( x \right) - 2021$

Xét dấu $g\left( 0 \right);\,g\left( 1 \right)$

Hàm số bậc ba có hệ số $a > 0$ nên $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x \right) = - \infty \end{array} \right.$

Lập luận số nghiệm phân biệt và số cực trị của $g\left( x \right)$

Số điểm cực trị của hàm số $y = \left| {f\left( x \right) - 2021} \right|$ bằng tổng số nghiệm phân biệt của phương trình $g\left( x \right) = 0$ và số cực trị của $g\left( x \right).$

Giải chi tiết

Xét hàm số $g\left( x \right) = f\left( x \right) - 2021 = a{x^3} + b{x^2} + cx + d - 2021$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}g\left( 0 \right) = d - 2021\\g\left( 1 \right) = a + b + c + d - 2021\end{array} \right.$

Theo giả thiết ta được: $\left\{ \begin{array}{l}g\left( 0 \right) > 0\\g\left( 1 \right) < 0\end{array} \right.$

Lại do $a > 0$ nên $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x \right) = - \infty \end{array} \right. \Rightarrow \exists \beta > 1:\,g\left( \beta \right) > 0$

Và suy ra $\exists \alpha < 0:\,g\left( \alpha \right) < 0$

Do đó: $\left\{ \begin{array}{l}g\left( \alpha \right).g\left( 0 \right) < 0\\g\left( 0 \right).g\left( 1 \right) < 0\\g\left( 1 \right).g\left( \beta \right) < 0\end{array} \right. \Rightarrow g\left( x \right) = 0$ có $3$ nghiệm phân biệt thuộc khoảng $\left( {\alpha ;\beta } \right)$

Khi đó, đồ thị hàm số $y$ có $3$ điểm cực trị.

Vậy số điểm cực trị của hàm số $y = \left| {f\left( x \right) - 2021} \right|$ là $5$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.