Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} =

Câu hỏi số 529245:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} = 3.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\(M = \dfrac{1}{{2a + b + c}} + \dfrac{1}{{a + 2b + c}} + \dfrac{1}{{a + b + 2c}}.\)

A. \({M_{\max }} = \dfrac{3}{2}\) khi \(a = b = c = 1.\)

B. \({M_{\max }} = \dfrac{3}{2}\) khi \(a = b = c = \dfrac{1}{2}.\)

C. \({M_{\max }} = 3\) khi \(a = b = c = 1.\)

D. \({M_{\max }} = 3\) khi \(a = b = c = \dfrac{1}{2}.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:529245

Phương pháp giải

Sử dụng bổ đề \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\,\,\forall x,y > 0\)

Giải chi tiết

Từ bất đẳng thức \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\,\,\forall x,y > 0\) (Giải Câu 7) ta có:

\(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}} \Rightarrow \dfrac{1}{{x + y}} \le \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right).\)

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

\(\dfrac{1}{{2a + b + c}} = \dfrac{1}{{\left( {a + b} \right) + \left( {c + a} \right)}} \le \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{c + a}}} \right)\,\,\left( 1 \right)\)

Tương tự ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{a + 2b + c}} \le \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}}} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\\\dfrac{1}{{a + b + 2c}} \le \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{b + c}}} \right)\,\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức \(\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)\) ta được:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{2a + b + c}} + \dfrac{1}{{a + 2b + c}} + \dfrac{1}{{a + b + 2c}} \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}}} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{2a + b + c}} + \dfrac{1}{{a + 2b + c}} + \dfrac{1}{{a + b + 2c}} \le \dfrac{1}{2}.3\\ \Rightarrow M \le \dfrac{3}{2}.\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = c = \dfrac{1}{2}.\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(M\) là \(\dfrac{3}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link