Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(a + b + c = 3.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Câu hỏi số 529244:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(a + b + c = 3.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(M = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \dfrac{{{a^2}}}{b} + \dfrac{{{b^2}}}{c} + \dfrac{{{c^2}}}{a}.\)

A. \({M_{\min }} = 3\) khi \(a = b = c = 2.\)

B. \({M_{\min }} = 3\) khi \(a = b = c = 1.\)

C. \({M_{\min }} = 6\) khi \(a = b = c = 2.\)

D. \({M_{\min }} = 6\) khi \(a = b = c = 1.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:529244

Phương pháp giải

Sử dụng các bổ đề cơ bản: \(3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {\left( {a + b + c} \right)^2}\) và \(\dfrac{{{a^2}}}{b} + \dfrac{{{b^2}}}{c} + \dfrac{{{c^2}}}{a} \ge a + b + c\) với \(a,b,c > 0.\)

Giải chi tiết

\(M = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \dfrac{{{a^2}}}{b} + \dfrac{{{b^2}}}{c} + \dfrac{{{c^2}}}{a}.\)

+ Sử dụng bất đẳng thức \(3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {\left( {a + b + c} \right)^2}\) (Giải Câu 6) ta có:

+ Xét hiệu

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{a^2}}}{b} + \dfrac{{{b^2}}}{c} + \dfrac{{{c^2}}}{a} - \left( {a + b + c} \right)\\ = \left( {\dfrac{{{a^2}}}{b} - 2a + b} \right) + \left( {\dfrac{{{b^2}}}{c} - 2b + c} \right) + \left( {\dfrac{{{c^2}}}{a} - 2c + a} \right)\\ = \dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{b} + \dfrac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{c} + \dfrac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{a} \ge 0\,\,\forall a,b,c > 0\\ \Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{b} + \dfrac{{{b^2}}}{c} + \dfrac{{{c^2}}}{a} \ge a + b + c\\ \Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{b} + \dfrac{{{b^2}}}{c} + \dfrac{{{c^2}}}{a} \ge 3.\end{array}\)

Suy ra \(M \ge 3 + 3 = 6.\)

Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = c = 1.\)

Vậy GTNN của \(M\) là \(6\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link