Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) thì\({\rm{ }}A = {n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + 2n

Câu hỏi số 529667:

Vận dụng

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) thì\({\rm{ }}A = {n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + 2n + 1\) không là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:529667

Phương pháp giải

Để chứng minh một khẳng định là đúng theo phương pháp phản chứng, ta thực hiện như sau:

- Bước 1: Giả sử \(A\) là số chính phương.

- Bước 2: Suy luận 1 số tính chất, quan hệ mới từ điều đã giả sử ở trên. Các tính chất, quan hệ mới này mâu thuẫn với đề bài hoặc điều vô lý.

- Bước 3: Suy ra điều giả sửa sai, tức là điều phải chứng minh đúng.

Giải chi tiết

Với \(n \ge 1\):

Giả sử \(A\) là số chính phương.

\( \Rightarrow A = {k^2}\)\( \Rightarrow {n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + 2n + 1 = {k^2}\).

\( \Rightarrow {n^2}({n^2} + 2n + 1) + ({n^2} + 2n + 1)\, = {k^2}\).

\( \Rightarrow {n^2}{(n + 1)^2} + {(n + 1)^2} = {k^2}\)\( \Rightarrow ({n^2} + 1){(n + 1)^2} = {k^2}\).

\( \Rightarrow ({n^2} + 1)\) là số chính phương với mọi \(n \ge 1\) (vô lí).

Vậy với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) thì \({\rm{ }}A = {n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + 2n + 1\) không là số chính phương.

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link