Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì \(B = {n^3} - n + 2\) không là số chính phương.

Câu hỏi số 529668:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:529668

Phương pháp giải

Xét các trường hợp của \(n\)

Để chứng minh một khẳng định là đúng theo phương pháp phản chứng, ta thực hiện như sau:

- Bước 1: Giả sử với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\), \(B\) là số chính phương.

- Bước 2: Suy luận 1 số tính chất, quan hệ mới từ điều đã giả sử ở trên. Các tính chất, quan hệ mới này mâu thuẫn với đề bài hoặc điều vô lý.

- Bước 3: Suy ra điều giả sửa sai, tức là điều phải chứng minh đúng.

Giải chi tiết

Với \(n = 0\) thì \(B = {n^3} - n + 2 = 2\) không là số chính phương.

Giả sử với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\), \(B\) là số chính phương.

\( \Rightarrow B = {k^2}\)\( \Rightarrow {n^3} - n + 2 = {k^2}\) \(\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

\( \Rightarrow n({n^2} - 1) + 2\, = {k^2}\).

\( \Rightarrow n(n - 1)(n + 1) + 2 = {k^2}\) \(\left( * \right)\)

Mà \(n(n - 1)(n + 1) \vdots 3\) \( \Rightarrow n(n - 1)(n + 1) + 2 = {k^2}\)chia 3 dư 2

Nên \(\left( * \right)\) mâu thuẫn hay vô lý hay không xảy ra.

Vậy với mọi số tự nhiên thì \(B = {n^3} - n + 2\) không là số chính phương.

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link