Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\) thì \({{\rm{2}}^n} - 1\) không là số chính

Câu hỏi số 529666:

Vận dụng

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\) thì \({{\rm{2}}^n} - 1\) không là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:529666

Phương pháp giải

Xét các trường hợp của \(n\)

Để chứng minh một khẳng định là đúng theo phương pháp phản chứng, ta thực hiện như sau:

- Bước 1: Giả sử \({{\rm{2}}^n} - 1\) là số chính phương.

- Bước 2: Suy luận 1 số tính chất, quan hệ mới từ điều đã giả sử ở trên. Các tính chất, quan hệ mới này mâu thuẫn với đề bài hoặc điều vô lý.

- Bước 3: Suy ra điều giả sửa sai, tức là điều phải chứng minh đúng.

Giải chi tiết

Với \(n = 2 \Rightarrow {2^n} - 1 = 3\) không là số chính phương.

Với \(n > 2\):

Giả sử \({{\rm{2}}^n} - 1\) là số chính phương.

Mà \({{\rm{2}}^n} - 1\) là số lẻ nên \({{\rm{2}}^n} - 1 = {\left( {2k + 1} \right)^2}\)\( \Rightarrow {{\rm{2}}^n} - 1 = 4{k^2} + 4k + 1\).

\( \Rightarrow {{\rm{2}}^n} = 4{k^2} + 4k + 2\)\(\left( * \right)\).

Vì \({\rm{n}} \ge 2{\rm{ }}\)nên \({{\rm{2}}^n} \vdots 4\) \(\left( 1 \right)\).

Mà \(4{k^2} + 4k = 4k\left( {k + 1} \right) \vdots 4\).

Nên \(4{k^2} + 4k + 2\not \vdots 4\) \(\left( 2 \right)\).

So sánh \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) với \(\left( * \right)\), ta thấy mâu thuẫn với nhau.

Vậy với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\) thì \({{\rm{2}}^n} - 1\) không là số chính phương.

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link