Tìm số tự nhiên \(n\) nhỏ nhất để các phân số sau đều là phân số tối giản: \(\dfrac{5}{{n +

Câu hỏi số 530447:

Vận dụng

Tìm số tự nhiên \(n\) nhỏ nhất để các phân số sau đều là phân số tối giản:

\(\dfrac{5}{{n + 7}},\,\,\dfrac{6}{{n + 8}},\,\,\dfrac{7}{{n + 9}}, \ldots ,\,\,\dfrac{{16}}{{n + 18}},\,\,\dfrac{{17}}{{n + 19}}\).

A. \(n = 17\)

B. \(n = 19\)

C. \(n = 21\)

D. \(n = 23\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:530447

Phương pháp giải

Tìm điều kiện của \(n\) đề các phân số có tử và mẫu có ước chung duy nhất là \(1.\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\dfrac{5}{{n + 7}},\,\,\dfrac{6}{{n + 8}},\,\,\dfrac{7}{{n + 9}}, \ldots ,\,\,\dfrac{{16}}{{n + 18}},\,\,\dfrac{{17}}{{n + 19}}\)

Suy ra ta có dãy các phân số: \(\dfrac{5}{{5 + \left( {n + 2} \right)}},\dfrac{6}{{6 + \left( {n + 2} \right)}},\dfrac{7}{{7 + \left( {n + 2} \right)}}, \ldots ,\dfrac{{17}}{{17 + \left( {n + 2} \right)}}\).

Có thể thấy, các phân số đã cho có dạng \(\dfrac{a}{{a + \left( {n + 2} \right)}}\).

Để các phân số \(\dfrac{5}{{n + 7}},\,\,\dfrac{6}{{n + 8}},\,\,\dfrac{7}{{n + 9}}, \ldots ,\,\,\dfrac{{16}}{{n + 18}},\,\,\dfrac{{17}}{{n + 19}}\) là phân số tối giản thì \(\dfrac{a}{{a + \left( {n + 2} \right)}}\) là phân số tối giản.

Suy ra, \(a\) và \(a + \left( {n + 2} \right)\) là hai số nguyên tố cùng nhau \( \Rightarrow UC\left( {a,\,\,n + 2} \right) = 1\)

\( \Rightarrow n + 2\) nguyên tố cùng nhau với các số \(5,\,\,6,\,\,7, \ldots ,\,\,17\).

Do vậy \(n + 2\) là số nguyên tố nhỏ nhất mà lớn hơn \(17\).

Suy ra, \(n + 2 = 19 \Rightarrow n = 17.\)

Vậy với \(n = 17\) thì các phân số \(\dfrac{5}{{n + 7}},\,\,\dfrac{6}{{n + 8}},\,\,\dfrac{7}{{n + 9}}, \ldots ,\,\,\dfrac{{16}}{{n + 18}},\,\,\dfrac{{17}}{{n + 19}}\) đều là phân số tối giản.

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link