Không sử dụng máy tính bỏ túi, tính giá trị biểu thức sau: \(T = \dfrac{{\sqrt 2 \left( {1 +

Câu hỏi số 530869:

Vận dụng

Không sử dụng máy tính bỏ túi, tính giá trị biểu thức sau: \(T = \dfrac{{\sqrt 2 \left( {1 + \sqrt[3]{{10 + 6\sqrt 3 }}} \right)}}{{2\sqrt 2 + \sqrt {2 + \sqrt 3 } }} + \dfrac{{\sqrt 2 \left( {1 + \sqrt[3]{{10 - 6\sqrt 3 }}} \right)}}{{2\sqrt 2 - \sqrt {2 - \sqrt 3 } }}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:530869

Phương pháp giải

Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\, - A < 0\end{array} \right.\) và hẳng đẳng thức \(\sqrt[3]{{{A^3}}} = A\), thực hiện các phép toán để rút gọn biểu thức \(T\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(T = \dfrac{{\sqrt 2 \left( {1 + \sqrt[3]{{10 + 6\sqrt 3 }}} \right)}}{{2\sqrt 2 + \sqrt {2 + \sqrt 3 } }} + \dfrac{{\sqrt 2 \left( {1 + \sqrt[3]{{10 - 6\sqrt 3 }}} \right)}}{{2\sqrt 2 - \sqrt {2 - \sqrt 3 } }}\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{T}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 \left( {1 + \sqrt[3]{{10 + 6\sqrt 3 }}} \right)}}{{4 + \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } }} + \dfrac{{\sqrt 2 \left( {1 + \sqrt[3]{{10 - 6\sqrt 3 }}} \right)}}{{4 - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } }}\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt 2 \left( {1 + \sqrt[3]{{3\sqrt 3 + 9 + 3\sqrt 3 + 1}}} \right)}}{{4 + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} }} + \dfrac{{\sqrt 2 \left( {1 - \sqrt[3]{{3\sqrt 3 - 9 + 3\sqrt 3 - 1}}} \right)}}{{4 - \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} }}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt 2 \left( {1 + \sqrt[3]{{{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^3}}}} \right)}}{{4 + \sqrt 3 + 1}} + \dfrac{{\sqrt 2 \left( {1 - \sqrt[3]{{{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^3}}}} \right)}}{{4 - \sqrt 3 + 1}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt 2 \left( {1 + \sqrt 3 + 1} \right)}}{{5 + \sqrt 3 }} + \dfrac{{\sqrt 2 \left( {1 - \sqrt 3 + 1} \right)}}{{5 - \sqrt 3 }}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt 2 \left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}{{5 + \sqrt 3 }} + \dfrac{{\sqrt 2 \left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}{{5 - \sqrt 3 }}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{T}{2} = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{5 + \sqrt 3 }} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{5 - \sqrt 3 }} = \dfrac{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {5 - \sqrt 3 } \right) + \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {5 + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {5 + \sqrt 3 } \right)\left( {5 - \sqrt 3 } \right)}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{10 - 2\sqrt 3 + 5\sqrt 3 - 3 + 10 + 2\sqrt 3 - 5\sqrt 3 - 3}}{{25 - 3}} = \dfrac{{14}}{{22}} = \dfrac{7}{{11}}\end{array}\)

\( \Rightarrow T = \dfrac{{14}}{{11}}\).

Vậy \(T = \dfrac{{14}}{{11}}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link