Cho hình thoi \(ABCD\,\,\left( {AC > BD} \right)\), \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Đường tròn
Cho hình thoi \(ABCD\,\,\left( {AC > BD} \right)\), \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Đường tròn \(\left( O \right)\) nội tiếp hình thoi \(ABCD\), tiếp xúc với các cạnh \(AB,\,\,BC,\,\,CD,\,\,DA\) lần lượt tại các điểm \(E,\,\,F,\,\,G,\,\,H\). Lấy điểm \(K\) trên đoạn \(HA\) và \(L\) trên đoạn \(AE\) sao cho \(KL\) tiếp xúc với đườg tròn \(\left( O \right)\).
a) Chứng minh rằng: \(\angle LOK = \angle LBO\) và \(BL.DK = O{B^2}\).
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(CFL\) cắt cạnh \(AB\) tại \(M\) (khác \(L\)) và đường tròn ngoại tiếp tam giác \(CKG\) cắt cạnh \(AD\) tại điểm \(N\) (khác \(K\)). Chứng minh rằng 4 điểm \(K,\,\,L,\,\,M,\,\,N\) cùng nằm trên một đường tròn.
c) Lấy các điểm \(P,\,\,Q\) tương ứng trên các đoạn \(FC,\,\,CG\) sao cho \(LP\) song song với \(KQ\). Chứng minh rằng \(PQ\) tiếp xúc với đường tròn \(\left( O \right)\).
Quảng cáo
a) + Gọi \(I\) là tiếp điểm của \(KL\) với \(\left( O \right)\).
+ Chứng minh được \(\angle LOK = \angle LBO\), \(\angle BLO = \angle KOD\)
\( \Rightarrow \Delta BLO \sim \Delta DOK\,\,\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow BL.DK = BO.DO = O{B^2}\)
b) + Chứng minh được: \(\angle BMO = \angle BOL\) và \(\angle BOL = \angle OKL\) \( \Rightarrow 4\) điểm \(K,\,\,M,\,\,L,\,\,O\) cùng thuộc một đường tròn.
+ Chứng minh tương tự, ta có 4 điểm \(K,\,\,N,\,\,L,\,O\) cùng thuộc một đường tròn.
\( \Rightarrow 5\) điểm \(K,\,\,M,\,\,N,\,\,L,\,\,O\) cùng thuộc một dường tròn.
Vậy 4 điểm \(K,\,\,M,\,\,N,\,\,L\) cùng thuộc một đường tròn (đpcm).
c) + Chứng minh được: \(\dfrac{{OQ}}{{OP}} = \dfrac{{DQ}}{{DO}}\) và \(\angle POQ = \angle QDO\)\( \Rightarrow \Delta POQ \sim \Delta ODQ\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow \angle OQD = \angle OQP\) (2 góc tương ứng)
+ Gọi \(J\) là chân đường cao hạ từ \(O\) xuống \(PQ\).
Chứng minh được \(\Delta OQG = \Delta OQJ\) (cạnh huyền – góc nhọn)
\( \Rightarrow OJ = OG\) (2 cạnh tương ứng) \( \Rightarrow OJ\) là bán kính của đường tròn \(\left( O \right)\),
Vậy \(PQ\) tiếp xúc với đường tròn \(\left( O \right)\) (đpcm).
a) Gọi \(I\) là tiếp điểm của \(KL\) với \(\left( O \right)\).
Ta có: \(\angle LOK = \angle LOI + \angle KOI = \dfrac{1}{2}\angle EOI + \dfrac{1}{2}\angle HOI\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow \angle LOK = \dfrac{1}{2}\angle HOE = \angle AOE\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).
Lại có \(\angle AOE = \angle LBO\) (cùng phụ với \(\angle BOE\)).
\( \Rightarrow \angle LOK = \angle LBO\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle LOB + \angle LBO + \angle BOL = {180^0}\\\angle LOB + \angle LOK + \angle KOD = {180^0}\end{array} \right.\), mà \(\angle LOK = \angle LBO\,\,\left( {cmt} \right)\).
\( \Rightarrow \angle BLO = \angle KOD\) \( \Rightarrow \Delta BLO \sim \Delta DOK\,\,\left( {g.g} \right)\).
\( \Rightarrow \dfrac{{BL}}{{DO}} = \dfrac{{BO}}{{DK}}\) (2 cạnh tương ứng) \( \Rightarrow BL.DK = BO.DO = O{B^2}\).
b) Tứ giác \(CFLM\) nội tiếp \( \Rightarrow \Delta BFL \sim \Delta BMC\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow BF.BC = BL.BM\)
Mà \(BF.BC = O{B^2}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông) \( \Rightarrow BL.BM = O{B^2} \Rightarrow \dfrac{{BL}}{{OB}} = \dfrac{{OB}}{{BM}}\).
\( \Rightarrow \Delta BOL \sim \Delta BMO\,\,\left( {c.g.v} \right) \Rightarrow \angle BMO = \angle BOL\) (1)
Từ Giải Câu a) ta có \(\angle KOL = \angle LOB\), lại có \(\angle KLO = \angle BLO\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).
\( \Rightarrow \Delta KOL \sim \Delta LBO\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \angle BOL = \angle OKL\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \angle BMO = \angle OKL\) \( \Rightarrow 4\) điểm \(K,\,\,M,\,\,L,\,\,O\) cùng thuộc một đường tròn.
Tương tự, ta có 4 điểm \(K,\,\,N,\,\,L,\,O\) cùng thuộc một đường tròn.
\( \Rightarrow 5\) điểm \(K,\,\,M,\,\,N,\,\,L,\,\,O\) cùng thuộc một dường tròn.
Vậy 4 điểm \(K,\,\,M,\,\,N,\,\,L\) cùng thuộc một đường tròn (đpcm).
c) Vì \(LP//KQ,\,\,BL//DQ\) \( \Rightarrow \angle BLP = \angle DQK\).
Vì \(LP//KQ,\,\,BP//DK\) \( \Rightarrow \angle BPL = \angle DKQ\).
\( \Rightarrow \Delta BLP \sim \Delta DKQ\,\,\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{BL}}{{DQ}} = \dfrac{{BP}}{{DK}}\) (2 cạnh tương ứng) \( \Rightarrow DQ.BP = BL.DK = O{B^2} = OB.OD\).
\( \Rightarrow \dfrac{{DQ}}{{OD}} = \dfrac{{OB}}{{BP}}\).
Lại có \(\angle OBP = \angle ODQ \Rightarrow \Delta ODQ \sim \Delta PBO\,\,\left( {c.g.c} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{OQ}}{{OP}} = \dfrac{{DQ}}{{BO}}\) (2 cạnh tương ứng) \( \Rightarrow \dfrac{{OQ}}{{OP}} = \dfrac{{DQ}}{{DO}}\,\,\,\left( 3 \right)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle BOP + \angle POQ + \angle QOD = {180^0}\\\angle DQO + \angle QDO + \angle QOD = {180^0}\end{array} \right.\) (tổng ba góc trong 1 tam giác).
Mà \(\angle BOP = \angle DQO\,\,\left( {do\,\,\Delta ODQ \sim \Delta PBO} \right) \Rightarrow \angle POQ = \angle QDO\,\,\,\left( 4 \right)\)
Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \Delta POQ \sim \Delta ODQ\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow \angle OQD = \angle OQP\) (2 góc tương ứng)
Gọi \(J\) là chân đường cao hạ từ \(O\) xuống \(PQ\).
Xét \(\Delta OQG\) và \(\Delta OQJ\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}OQ\,\,chung\\\angle OGQ = \angle OJQ = {90^0}\\\angle OQG = \angle OGJ\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \Delta OQG = \Delta OQJ\) (cạnh huyền – góc nhọn)
\( \Rightarrow OJ = OG\) (2 cạnh tương ứng) \( \Rightarrow OJ\) là bán kính của đường tròn \(\left( O \right)\),
Vậy \(PQ\) tiếp xúc với đường tròn \(\left( O \right)\) (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
