Với mọi số nguyên dương \(n\), chứng minh \(\sqrt {{n^2} + {n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2} + {{\left( {n +

Câu hỏi số 530870:

Vận dụng

Với mọi số nguyên dương \(n\), chứng minh \(\sqrt {{n^2} + {n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2} + {{\left( {n + 1} \right)}^2}} \) là số nguyên dương nhưng không phải là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:530870

Phương pháp giải

+ Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\, - A < 0\end{array} \right.\)

+ Sử dụng định nghĩa số chính phương.

Giải chi tiết

Đặt

\(\begin{array}{l}A = \sqrt {{n^2} + {n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2} + {{\left( {n + 1} \right)}^2}} \\\,\,\,\, = \sqrt {{n^2} + {n^2}\left( {{n^2} + 2n + 1} \right) + {n^2} + 2n + 1} \\\,\,\, = \sqrt {{n^2} + {n^4} + 2{n^3} + {n^2} + {n^2} + 2n + 1} \\\,\,\, = \sqrt {{n^4} + {n^2} + 1 + 2{n^3} + 2{n^2} + 2n} \\\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {{n^2} + n + 1} \right)}^2}} = \left| {{n^2} + n + 1} \right|\\\,\,\,\, = {n^2} + n + 1\,\,\,\left( {do\,\,\,n \in {\mathbb{Z}^ + }} \right)\end{array}\)

Do \(n\) nguyên dương nên \({n^2} + n + 1\) nguyên dương hay \(A\) nguyên dương.

Nhận thấy \({n^2} \le {n^2} + n + 1 \le {n^2} + 2n + 1 = {\left( {n + 1} \right)^2}\)

Suy ra \(A\) không phải là số chính phương.

Điều phải chứng minh.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link