Với mọi số nguyên dương \(n\), chứng minh \(\sqrt {{n^2} + {n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2} + {{\left( {n +

Câu hỏi số 530870:

Vận dụng

Với mọi số nguyên dương \(n\), chứng minh \(\sqrt {{n^2} + {n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2} + {{\left( {n + 1} \right)}^2}} \) là số nguyên dương nhưng không phải là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:530870

Phương pháp giải

+ Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\, - A < 0\end{array} \right.\)

+ Sử dụng định nghĩa số chính phương.

Giải chi tiết

Đặt

\(\begin{array}{l}A = \sqrt {{n^2} + {n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2} + {{\left( {n + 1} \right)}^2}} \\\,\,\,\, = \sqrt {{n^2} + {n^2}\left( {{n^2} + 2n + 1} \right) + {n^2} + 2n + 1} \\\,\,\, = \sqrt {{n^2} + {n^4} + 2{n^3} + {n^2} + {n^2} + 2n + 1} \\\,\,\, = \sqrt {{n^4} + {n^2} + 1 + 2{n^3} + 2{n^2} + 2n} \\\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {{n^2} + n + 1} \right)}^2}} = \left| {{n^2} + n + 1} \right|\\\,\,\,\, = {n^2} + n + 1\,\,\,\left( {do\,\,\,n \in {\mathbb{Z}^ + }} \right)\end{array}\)

Do \(n\) nguyên dương nên \({n^2} + n + 1\) nguyên dương hay \(A\) nguyên dương.

Nhận thấy \({n^2} \le {n^2} + n + 1 \le {n^2} + 2n + 1 = {\left( {n + 1} \right)^2}\)

Suy ra \(A\) không phải là số chính phương.

Điều phải chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link