Phân tích đa thức \(P\left( {x,\,\,y} \right) = 4{x^3} - 3x{y^2} + {y^3}\) thành nhân tử. Từ đó chứng

Câu hỏi số 530872:

Vận dụng

Phân tích đa thức \(P\left( {x,\,\,y} \right) = 4{x^3} - 3x{y^2} + {y^3}\) thành nhân tử. Từ đó chứng minh \(4{x^3} + {y^3} \ge 3x{y^2}\) với mọi số thực \(x;\,\,y\) thỏa mãn \(x + y \ge 0.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:530872

Phương pháp giải

+ Sử dụng phương pháp tách, nhóm các hạng tử, phân tích đa thức được đa thức \(P\)

+ Từ giả thiết của bài toán \(x + y \ge 0\) chứng minh được \(P\left( {x,y} \right) \ge 0\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}P\left( {x,y} \right) = 4{x^3} - 3x{y^2} + {y^3}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4{x^3} + 4{x^2}y - 4{x^2}y - 4x{y^2} + x{y^2} + {y^3}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4{x^2}\left( {x + y} \right) - 4xy\left( {x + y} \right) + {y^2}\left( {x + y} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {x + y} \right)\left( {4{x^2} - 4xy + {y^2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {x + y} \right){\left( {2x - y} \right)^2}\end{array}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 0\,\,\,\left( {gt} \right)\\{\left( {2x - y} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x,y\,\,\end{array} \right.\) \( \Rightarrow P\left( {x,y} \right) \ge 0\) với mọi số thực \(x,y.\)

Hay \(4{x^3} + {y^3} \ge 3x{y^2}\) với mọi số thực \(x,y\) thỏa mãn \(x + y \ge 0\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link