Cho các phương trình (ẩn \(x\)) \(a{x^2} - bx + c = 0\,\,\left( 1 \right)\) và \(c{x^2} - bx + a = 0\,\,\left( 2

Câu hỏi số 530871:

Vận dụng

Cho các phương trình (ẩn \(x\)) \(a{x^2} - bx + c = 0\,\,\left( 1 \right)\) và \(c{x^2} - bx + a = 0\,\,\left( 2 \right)\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực dương dương thỏa mãn \(a - b + 4c = 0\).

a) Chứng minh các phương trình (1) và (2) đều có hai nghiệm dương phân biệt.

b) Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) và \({x_3},\,\,{x_4}\) là hai nghiệm của phương trình \(\left( 2 \right).\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \dfrac{1}{{{x_1}{x_2}{x_3}}} + \dfrac{1}{{{x_2}{x_3}{x_4}}} + \dfrac{1}{{{x_3}{x_4}{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_4}{x_1}{x_2}}}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:530871

Phương pháp giải

a) + Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\Delta > 0\)

+ Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1};{x_2}\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1}.{x_2} > 0\\{x_1} + {x_2} > 0\end{array} \right.\)

b) + Áp dụng hệ thức Vi – ét, tính \({x_1}{x_2};{x_1} + {x_2}\) và \({x_3}{x_4};{x_3} + {x_4}\), thay vào biểu thức \(T\)

+ Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, tìm được giá trị nhỏ nhất của \(T\).

Giải chi tiết

a) Xét các phương trinh: \(a{x^2} - bx + c = 0\,\,\left( 1 \right)\) và \(c{x^2} - bx + a = 0\,\,\left( 2 \right)\) ta có:

Có \({\Delta _1} = {\Delta _2} = {b^2} - 4ac\)

Vì \(a - b + 4c = 0\) \( \Rightarrow b = a + 4c\)

\( \Rightarrow {\Delta _1} = {\Delta _2} = {\left( {a + 4c} \right)^2} - 4ac\)\( = {a^2} + 4ac + 16{c^2} > 0\) do \(a,c > 0\)

Suy ra hai phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Gọi các nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) là \({x_1},{x_2}\), các nghiệm của phương trình \(\left( 2 \right)\) là \({x_3},{x_4}\)

Theo định lý Vi – ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{b}{a} > 0\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} > 0\end{array} \right. \Rightarrow {x_1},{x_2} > 0\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_3} + {x_4} = \dfrac{b}{c} > 0\\{x_3}{x_4} = \dfrac{a}{c} > 0\end{array} \right. \Rightarrow {x_3},{x_4} > 0\)

Vậy các phương trình đã cho đều có hai nghiệm dương phân biệt.

b) Ta có:
\(\begin{array}{l}T = \dfrac{1}{{{x_1}{x_2}{x_3}}} + \dfrac{1}{{{x_2}{x_3}{x_4}}} + \dfrac{1}{{{x_3}{x_4}{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_4}{x_1}{x_2}}}.\\\,\,\, = \dfrac{{{x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4}}}{{{x_1}{x_2}{x_3}{x_4}}} = \dfrac{{\dfrac{b}{a} + \dfrac{b}{c}}}{{\dfrac{c}{a}.\dfrac{a}{c}}}\\\,\, = \dfrac{{\dfrac{{a + 4c}}{a} + \dfrac{{a + 4c}}{c}}}{1} = \dfrac{{a + 4c}}{a} + \dfrac{{a + 4c}}{c}\\\,\, = 1 + 4.\dfrac{a}{c} + \dfrac{a}{c} + 4\\\,\, = 5 + \left( {\dfrac{{4c}}{a} + \dfrac{a}{c}} \right)\\ \Rightarrow T \ge 5 + 2\sqrt {\dfrac{{4c}}{a}.\dfrac{a}{c}} \ge 9\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{4c}}{a} = \dfrac{a}{c}\\b = a + 4c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2c\\b = a + 4c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2c\\b = 6c\end{array} \right.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(T\) là \(9\), dấu bằng xảy ra khi \(\left( {a,b,c} \right) = \left( {2t,6t,t} \right)\) với \(t > 0\) bất kỳ.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link