Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên n có \(4\) chữ số thỏa mãn \({({2^n} + {3^n})^{2020}} <

Câu hỏi số 532312:

Vận dụng cao

Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên n có \(4\) chữ số thỏa mãn \({({2^n} + {3^n})^{2020}} < {({2^{2020}} + {3^{2020}})^n}\). Số phần tử của S là:

A. \(8999\)

B. \(2019\)

C. \(1010\)

D. \(7979\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:532312

Phương pháp giải

Từ giả thiết lấy ln hai vế

\(\begin{array}{l}\ln {({2^n} + {3^n})^{2020}} < \ln {({2^{2020}} + {3^{2020}})^n} \Leftrightarrow 2020\ln ({2^n} + {3^n}) < n\ln ({2^{2020}} + {3^{2020}})\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\ln ({2^n} + {3^n})}}{n} < \dfrac{{\ln ({2^{2020}} + {3^{2020}})}}{{2020}}\,\,\,\,\end{array}\)

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm đặc trưng \(f(t) = \,\dfrac{{\ln ({2^t} + {3^t})}}{t};\,\,\,t \in \left[ {1000;9999} \right]\).

Từ đó, so sánh được \(n\)và \(2020\)

Kết hợp điều kiện \(n\)là số tự nhiên có bốn chữ số, từ đó suy ra các giá trị thỏa mãn.

Giải chi tiết

Theo giả thiết \({({2^n} + {3^n})^{2020}} < {({2^{2020}} + {3^{2020}})^n}\). Lấy ln hai vế:

Xét hàm đặc trưng \(f(t) = \,\dfrac{{\ln ({2^t} + {3^t})}}{t};\,\,\,t \in \left[ {1000;9999} \right]\)

Ta chứng minh được hàm số này nghịch biến trên khoảng đó (2).

Từ (1); (2) suy ra: \(n > 2020\).

Mà \(n \in N\)và có bốn chữ số nên \(n \in \left\{ {2021;2022;\,\,;9999} \right\}\)có \(9999 - 2021 + 1 = 7979\)số thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.