Tính \(a + b\) biết \(\left[ {a;b} \right]\)là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để

Câu hỏi số 532313:

Vận dụng cao

Tính \(a + b\) biết \(\left[ {a;b} \right]\)là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \({\log _2}\sqrt {{x^2} - 2x + m} + 4\sqrt {{{\log }_4}({x^2} - 2x + m)} \le 5\) thỏa mãn với mọi \(x \in \left[ {0;2} \right]\)

A. \(a + b = 4\)

B. \(a + b = 2\)

C. \(a + b = 0\)

D. \(a + b = 6\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:532313

Phương pháp giải

Sử dụng: \({\log _{{a^m}}}b = \,\dfrac{1}{m}{\log _a}b;\,\,{\log _a}{b^m} = m{\log _a}b\) để biến đổi \({\log _2}\sqrt {{x^2} - 2x + m} \)

Đặt\(a = {\log _4}\left( {{x^2} - 2x + m} \right);\,\,\,(a \ge 0)\)

Đưa bất phương trình đã cho về bất phương trình ẩn \(\sqrt a \Rightarrow a\)

Sau đó ta được bất phương trình \(p \le {\log _4}\left( {{x^2} - 2x + m} \right) \le n\)

\( \Leftrightarrow {4^p} \le {x^2} - 2x + m \le {4^n}\).

Dùng giả thiết \(x \in \left[ {0;2} \right]\) để tìm m.

Giải chi tiết

Ta có: \({\log _2}\sqrt {{x^2} - 2x + m} = \,\dfrac{1}{2}{\log _2}\left( {{x^2} - 2x + m} \right) = {\log _4}\left( {{x^2} - 2x + m} \right)\)

Đặt \(a = {\log _4}\left( {{x^2} - 2x + m} \right);\,\,\,(a \ge 0)\).

Theo giả thiết ta có: \({\log _2}\sqrt {{x^2} - 2x + m} + 4\sqrt {{{\log }_4}({x^2} - 2x + m)} \le 5\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow a + 4\sqrt a \le 5 \Leftrightarrow a + 4\sqrt a - 5 \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt a + 5} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right) \le 0\end{array}\)

Vì \(\sqrt a + 5 > 0 \Rightarrow \sqrt a - 1 \le 0 \Leftrightarrow \sqrt a \le 1 \Leftrightarrow 0 \le a \le 1\)

\(0 \le {\log _4}\left( {{x^2} - 2x + m} \right) \le 1 \Leftrightarrow 1 \le {x^2} - 2x + m \le 4\) (1)

Khi \(x \in \left[ {0;2} \right] \Leftrightarrow {x^2} - 2x \le 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + m \le m\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(m \le 4\).

Lại có: \({x^2} - 2x + m = {x^2} - 2x + 1 + m - 1 = {(x - 1)^2} + m - 1 \ge m - 1\) (3).

Do đó, để (1) luôn đúng thì \(1 \le m - 1 \Leftrightarrow m \ge 2\).

Vậy \(m \in \left[ {2;4} \right] \Rightarrow a + b = 6\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.