Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích \(V\). Biết tam giác \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\),

Câu hỏi số 532344:

Vận dụng cao

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích \(V\). Biết tam giác \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), các mặt bên là hình thoi, \(\angle CC'B' = {60^0}\). Gọi \(G;G'\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(BCB'\)và tam giác \(A'B'C'\). Tính theo \(V\)thể tích của khối đa diện \(GG'CA'\)

A. \({V_{GG'CA'}} = \,\dfrac{V}{6}\)

B. \({V_{GG'CA'}} = \,\dfrac{V}{8}\)

C. \({V_{GG'CA'}} = \,\dfrac{V}{{12}}\)

D. \({V_{GG'CA'}} = \,\dfrac{V}{9}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:532344

Phương pháp giải

Dùng tỉ số thể tích, tỉ số diện tích để tính theo \(V\)thể tích của khối đa diện \(GG'CA'\).

Giải chi tiết

Đặt \({V_{GG'CA'}} = {V_1}\).

Gọi \(H\)là trung điểm của \(B'C' \Rightarrow \dfrac{{{V_{A'.G'GC}}}}{{{V_{A'.HGC}}}} = \dfrac{{A'G'}}{{A'H}} = \,\dfrac{2}{3}\)

Do đó, \({V_1} = \dfrac{2}{3}{V_{A'.GHC}}\).

Xét tam giác \(CC'B'\) có: \(C'B' = CC' = a;\widehat {CC'B'} = {60^0} \Rightarrow \Delta CC'B'\)là tam giác đều cạnh \(a\)

\( \Rightarrow CH \bot B'C';\,\,CH = \,\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Gọi K là trung điểm của \(BC\). Chứng minh tương tự có \(B'K \bot BC\)

Suy ra, \(CKB'H\) là hình chữ nhật, do đó, \(d(G;\,\,CH) = CK = \,\dfrac{a}{2}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{S_{GHC}}}}{{{S_{BCC'B'}}}} = \,\,\dfrac{{\dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.2}} = \dfrac{1}{4}\\ \Rightarrow \dfrac{{{V_{A'.GHC}}}}{{{V_{A'.BCC'B'}}}} = \,\dfrac{{{S_{GHC}}}}{{{S_{BCC'B'}}}} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow {V_{A'.GHC}} = \dfrac{1}{4}{V_{A'.BCC'B'}}\end{array}\)

Mà \({V_{A'.BCC'B'}} = \dfrac{2}{3}V\)\( \Rightarrow {V_1} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{4}{V_{A.BCC'B'}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{4}.\dfrac{2}{3}V = \,\dfrac{V}{9}\)

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.