Cho \(a,\,\,b\) là các số thực dương. Chứng minh \(\dfrac{{a + b}}{{\sqrt {a\left( {8a + b} \right)} +

Câu hỏi số 532623:

Vận dụng cao

Cho \(a,\,\,b\) là các số thực dương. Chứng minh \(\dfrac{{a + b}}{{\sqrt {a\left( {8a + b} \right)} + \sqrt {b\left( {8b + a} \right)} }} \ge \dfrac{1}{3}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:532623

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho \(\sqrt {9a\left( {8a + b} \right)} \) và \(\sqrt {9b\left( {8b + a} \right)} \)

Từ đó, suy ra \(\sqrt {9a\left( {8a + b} \right)} + \sqrt {9b\left( {8b + a} \right)} \) sau đó, suy ra được \(\dfrac{{a + b}}{{\sqrt {a\left( {8a + b} \right)} + \sqrt {b\left( {8b + a} \right)} }}\)

Giải chi tiết

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {9a\left( {8a + b} \right)} \le \dfrac{{9a + 8a + b}}{2} = \dfrac{{17a + b}}{2}\\\sqrt {9b\left( {8b + a} \right)} \le \dfrac{{9b + 8b + a}}{2} = \dfrac{{17b + a}}{2}\\ \Rightarrow \sqrt {9a\left( {8a + b} \right)} + \sqrt {9b\left( {8b + a} \right)} \le \dfrac{{17a + b}}{2} + \dfrac{{17b + a}}{2} = 9\left( {a + b} \right)\\ \Rightarrow \sqrt {a\left( {8a + b} \right)} + \sqrt {b\left( {8b + a} \right)} \le 3\left( {a + b} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{a + b}}{{\sqrt {a\left( {8a + b} \right)} + \sqrt {b\left( {8b + a} \right)} }} \ge \dfrac{1}{3}\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9a = 8a + b\\9b = 8b + a\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b.\)

Vậy \(\dfrac{{a + b}}{{\sqrt {a\left( {8a + b} \right)} + \sqrt {b\left( {8b + a} \right)} }} \ge \dfrac{1}{3}.\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link