Cho đường tròn \(\left( {O;\,\,R} \right)\) đường kính \(AB,\) dây cung \(PQ\) vuông góc với \(AB\)

Câu hỏi số 532624:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( {O;\,\,R} \right)\) đường kính \(AB,\) dây cung \(PQ\) vuông góc với \(AB\) tại \(H\) sao cho \(AH > BH.\) Trên đoạn \(PH\) lấy điểm \(E\) (\(E\) khác \(P\) và \(H\)), tia \(BE\) cắt đường tròn \(\left( {O;\,\,R} \right)\) tại điểm thứ hai là \(F.\) Chứng minh rằng:

a) Tứ giác \(AHEF\) nội tiếp đường tròn.

b) \(\Delta BEP\) đồng dạng với \(\Delta BPF.\)

c) \(BE.BF + AH.AB = 4{R^2}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:532624

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

b) Ta sẽ chứng minh: \(\angle PEB = {180^0} - \angle FAB\,\,\,\left( 1 \right);\angle FPB = {180^0} - \angle FAB\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) \( \Rightarrow \angle FBB = \angle PEB\,\,\left( { = {{180}^0} - \angle FAB} \right)\)

Chứng minh được:

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta APB\)ta có:\(A{P^2} = AH.AB\)

Áp dụng định lý Py – ta – go cho \(\Delta APB\): \(B{P^2} + A{P^2} = A{B^2} = 4{R^2}\)

\( \Rightarrow BE.BF + AH.AB = 4{R^2}\) (đpcm)

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\angle AFB\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( {O;\,\,R} \right).\)

\( \Rightarrow \angle AFB = {90^0}\)

Xét tứ giác \(AHEF\) ta có: \(\angle AFE + \angle AHE = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow AHEF\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

b) Ta có: \(AHEF\) là tứ giác nội tiếp (cmt)

\( \Rightarrow \angle FAH + \angle FEH = {180^0}\) (tính chất tứ giác nội tiếp)

Lại có: \(\angle PEB = \angle FEH\) (hai góc đối đỉnh).

\( \Rightarrow \angle PEB + \angle FAB = {180^0}\) \( \Rightarrow \angle PEB = {180^0} - \angle FAB\,\,\,\left( 1 \right)\)

Mà \(ABPF\) là tứ giác nội tiếp đường tròn \(\left( {O;\,\,R} \right)\)

\( \Rightarrow \angle FAB + \angle BPF = {180^0}\) \( \Rightarrow \angle FPB = {180^0} - \angle FAB\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) \( \Rightarrow \angle FBB = \angle PEB\,\,\left( { = {{180}^0} - \angle FAB} \right)\)

Xét \(\Delta BEP\) và \(\Delta BPF\) ta có:

c) Ta có:

\( \Rightarrow \dfrac{{BE}}{{BP}} = \dfrac{{BP}}{{BF}} \Rightarrow B{P^2} = BE + BF.\)

Vì \(\angle APB\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( {O;\,\,R} \right)\)

\(\angle APB = {90^0}\) hay \(AP \bot PB\)

Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta APB\) vuông tại \(P\) có đường cao \(PH\) ta có:

\(A{P^2} = AH.AB\)

\( \Rightarrow BE.BF + AH.AB = B{P^2} + A{P^2}\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta APB\) vuông tại \(P\) ta có:

\(\begin{array}{l}B{P^2} + A{P^2} = A{B^2} = {\left( {2R} \right)^2} = 4{R^2}\\ \Rightarrow BE.BF + AH.AB = 4{R^2}\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link