Cho tam giác ABC ,M là trung điểm của BC gọi r,r1,r2 thứ tự là bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC ,∆BM,∆ ACM và BC = a.Chứng minh + ≥ 2(+)

Câu hỏi số 53428:

Cho tam giác ABC ,M là trung điểm của BC gọi r,r₁,r₂ thứ tự là bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC ,∆BM,∆ ACM và BC = a.Chứng minh $\frac{1}{r_{1}}$ + $\frac{1}{r_{2}}$ ≥ 2( $\frac{1}{r}$ + $\frac{2}{a}$ )

A. Click vào đáp án để xem

B. Click vào đáp án để xem

C. Click vào đáp án để xem

D. Click vào đáp án để xem

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:53428

Giải chi tiết

Xét bài toán phụ :Chứng mình rằng nếu tam giác có chu vi 2p,bán kính đường tròn nội tiếp bằng r thì diện tích S = p.r

Thật vậy ,xét tam giác ABC cho chu vi 2p ngoại tiếp (O;R) .Ta có:

S_ABC =S_AOB +S_BOC +S_COA = $\frac{r(a+b+c)}{2}$ = p.r

Trở lại bài toán :Gọi AB =c ,AC = b,độ dài đường cao hạ từ A xuống BC là h.Do BM=CM nên S_ABMS_ACM = $\frac{S_{ABC}}{2}$ Mặt khác,AM≥ h (quan hệ đường xiên – hình chiếu ) => $\frac{4}{a}$ = $\frac{2h}{S_{ABC}}$ ≤ $\frac{2AM}{S_{ABC}}$ = $\frac{AM}{S_{ABM}}$ (1)

Theo bài toán phụ ta có : $\frac{2}{r}$ = $\frac{a+b+c}{S_{ABC}}$ = $\frac{\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{3}}{S_{ABM}}$ (2)

Từ (1) và(2) => $\frac{4}{a}$ + $\frac{2}{r}$ ≤ $\frac{AM+\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{3}}{S_{ABM}}$ = $\frac{\frac{AM}{2}+\frac{c}{2}+\frac{a}{4}}{S_{ABM}}$ = $\frac{1}{r_{1}}$ + $\frac{1}{r_{2}}$ (theo bài toán phụ ).Vậy $\frac{1}{r_{1}}$ + $\frac{1}{r_{2}}$ ≥2( $\frac{1}{r}$ + $\frac{2}{a}$ ),dấu "=" xảy ra khi AM =h,tức là tam giác ABC cân tạiA

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link